Question

13．已知：AB=2，AC平分∠DAB，∠DAB+∠DCB=180°，∠DCB=120°，當(dāng)∠ABD=∠CBF時，則AC=$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 先證明A、B、C、D四點(diǎn)共圓，由圓周角定理得出∠ABD=∠ACD，再由已知條件和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠ACD=∠ADC，由三角形內(nèi)角和定理求出∠ACD=∠ADC=75°，得出∠ACB=45°，作BM⊥AC于M，則∠AMB=∠CMB=90°，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得出BM=$\frac{1}{2}$AB=1，AM=$\sqrt{3}$，得出△CBM是等腰直角三角形，因此CM=BM=1，即可得出AC的長．

解答 解：∵∠DAB+∠DCB=180°，
∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓，∠DAB=180°-∠DCB=60°，
∴∠ABD=∠ACD，
∵∠ABD=∠CBF，
∴∠ACD=∠CBF，
∵∠CBF=∠ADC，
∴∠ACD=∠ADC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC=30°，
∴∠ACD=∠ADC=75°，
∴∠ACB=120°-75°=45°，
作BM⊥AC于M，如圖所示：
則∠AMB=∠CMB=90°，
∴BM=$\frac{1}{2}$AB=1，△CBM是等腰直角三角形，
∴AM=$\sqrt{3}$BM=$\sqrt{3}$，CM=BM=1，
∴AC=AM+CM=$\sqrt{3}$+1；
故答案為：$\sqrt{3}$+1．

點(diǎn)評 本題是四點(diǎn)共圓綜合題目，考查了四點(diǎn)共圓、圓周角定理、三角形內(nèi)角和定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明四點(diǎn)共圓和作輔助線運(yùn)用特殊直角三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．