Question

11．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC為直徑的⊙O交斜邊AB于點(diǎn)M，若H是AC的中點(diǎn)，連接MH．
（1）求證：MH為⊙O的切線．
（2）若MH=$\frac{3}{2}$，tan∠ABC=$\frac{3}{4}$，求⊙O的半徑．
（3）在（2）的條件下分別過點(diǎn)A、B作⊙O的切線，兩切線交于點(diǎn)D，AD與⊙O相切于N點(diǎn)，過N點(diǎn)作NQ⊥BC，垂足為E，且交⊙O于Q點(diǎn)，求線段NQ的長度．

Answer 1

分析 （1）連接OH、OM，易證OH是△ABC的中位線，利用中位線的性質(zhì)可證明△COH≌△MOH，所以∠HCO=∠HMO=90°，從而可知MH是⊙O的切線；
（2）由切線長定理可知：MH=HC，再由點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)可知AC=3，由tan∠ABC=$\frac{3}{4}$，所以BC=4，從而可知⊙O的半徑為2；
（3）連接CN，AO，CN與AO相交于I，由AC、AN是⊙O的切線可知AO⊥CN，利用等面積可求出可求得CI的長度，設(shè)CE為x，然后利用勾股定理可求得CE的長度，利用垂徑定理即可求得NQ．

解答 解：（1）連接OH、OM，
∵H是AC的中點(diǎn)，O是BC的中點(diǎn)，
∴OH是△ABC的中位線，
∴OH∥AB，
∴∠COH=∠ABC，∠MOH=∠OMB，
又∵OB=OM，
∴∠OMB=∠MBO，
∴∠COH=∠MOH，
在△COH與△MOH中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OM}\\{∠COH=∠MOH}\\{OH=OH}\end{array}\right.$，
∴△COH≌△MOH（SAS），
∴∠HCO=∠HMO=90°，
∴MH是⊙O的切線；

（2）∵M(jìn)H、AC是⊙O的切線，
∴HC=MH=$\frac{3}{2}$，
∴AC=2HC=3，
∵tan∠ABC=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{3}{4}$，
∴BC=4，
∴⊙O的半徑為2；

（3）連接OA、CN、ON，OA與CN相交于點(diǎn)I，
∵AC與AN都是⊙O的切線，
∴AC=AN，AO平分∠CAD，
∴AO⊥CN，
∵AC=3，OC=2，
∴由勾股定理可求得：AO=$\sqrt{13}$，
∵$\frac{1}{2}$AC•OC=$\frac{1}{2}$AO•CI，
∴CI=$\frac{6\sqrt{13}}{13}$，
∴由垂徑定理可求得：CN=$\frac{12\sqrt{13}}{13}$，
設(shè)OE=x，
由勾股定理可得：CN²-CE²=ON²-OE²，
∴$\frac{144}{13}$-（2+x）²=4-x²，
∴x=$\frac{10}{13}$，
∴OE=$\frac{10}{13}$，
由勾股定理可求得：EN=$\frac{24}{13}$，
∴由垂徑定理可知：NQ=2EN=$\frac{48}{13}$．

點(diǎn)評 本題考查圓的綜合問題，涉及垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，切線的判定等知識內(nèi)容，對學(xué)生的綜合能力要求較高，一定要注意將所學(xué)知識貫穿起來．