Question

已知一元二次方程

1

2

x²+kx+k-

1

2

=0，
（1）求證：不論k為何實(shí)數(shù)，此方程總有兩個實(shí)數(shù)根；
（2）設(shè)k＜0，當(dāng)二次函數(shù)y=

1

2

x²+kx+k-

1

2

的圖象與x軸的兩個交點(diǎn)A，B間距離為4時，求出此二次函數(shù)的表達(dá)式．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

專題：

分析：（1）根據(jù)一元二次方程的根的判別式△=b²-4ac的符號來判定已知方程的根的情況；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系（|x_A-x_B|=

(xA+xB)2-4xAxB

=4）列出關(guān)于k的方程，通過解方程來求k的值．

解答：（1）證明：∵△=k²-4×

1

2

×（k-

1

2

）=k²-2k+1=（k-1）²≥0，
∴關(guān)于x的一元二次方程

1

2

x²+kx+k-

1

2

=0，不論k為何實(shí)數(shù)時，此方程總有兩個實(shí)數(shù)根；

（2）令y=0，則

1

2

x²+kx+k-

1

2

=0．
∵x_A+x_B=-2k，x_A•x_B=2k-1，
∴|x_A-x_B|=

(xA+xB)2-4xAxB

=

4k2-8k+4

=2|k-1|=4，即|k-1|=2，
解得：k=3（不合題意，舍去），或k=-1．
∴此二次函數(shù)的解析式是y=

1

2

x²-x-

3

2

．

點(diǎn)評：此題綜合考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，以及兩點(diǎn)之間的距離公式．