Question

1．如圖，已知二次函數(shù)y=-x²+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（3，1），點(diǎn)C（0，4），頂點(diǎn)為點(diǎn)M，過點(diǎn)A作AB∥x軸，交y軸于點(diǎn)D，交該二次函數(shù)圖象于點(diǎn)B，連結(jié)BC．
（1）求該二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）若將該二次函數(shù)圖象向下平移m（m＞0）個(gè)單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)落在△ABC的內(nèi)部（不包括△ABC的邊界），求m的取值范圍；
（3）點(diǎn)P是直線AC上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P，點(diǎn)C，點(diǎn)M所構(gòu)成的三角形與△BCD相似，請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果，不必寫解答過程）．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)A、點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，即可求出b、c的值，通過配方法得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)M是沿著對(duì)稱軸直線x=1向下平移的，可先求出直線AC的解析式，將x=1代入求出點(diǎn)M在向下平移時(shí)與AC、AB相交時(shí)y的值，即可得到m的取值范圍；
（3）由題意分析可得∠MCP=90°，則若△PCM與△BCD相似，則要進(jìn)行分類討論，分成△PCM∽△BDC或△PCM∽△CDB兩種，然后利用邊的對(duì)應(yīng)比值求出點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）把點(diǎn)A（3，1），點(diǎn)C（0，4）代入二次函數(shù)y=-x²+bx+c得，
$\left\{\begin{array}{l}{-{3}^{2}+3b+c=1}\\{c=4}\end{array}\right.$  解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=4}\end{array}\right.$
∴二次函數(shù)解析式為y=-x²+2x+4，
配方得y=-（x-1）²+5，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，5）；
（2）設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，把點(diǎn)A（3，1），C（0，4）代入得，
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=1}\\{b=4}\end{array}\right.$ 解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$
∴直線AC的解析式為y=-x+4，如圖所示，對(duì)稱軸直線x=1與△ABC兩邊分別交于點(diǎn)E、點(diǎn)F

把x=1代入直線AC解析式y(tǒng)=-x+4解得y=3，則點(diǎn)E坐標(biāo)為（1，3），點(diǎn)F坐標(biāo)為（1，1）
∴1＜5-m＜3，解得2＜m＜4；
（3）連接MC，作MG⊥y軸并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)N，則點(diǎn)G坐標(biāo)為（0，5）

∵M(jìn)G=1，GC=5-4=1
∴MC=$\sqrt{M{G}^{2}+C{G}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{2}$，
把y=5代入y=-x+4解得x=-1，則點(diǎn)N坐標(biāo)為（-1，5），
∵NG=GC，GM=GC，
∴∠NCG=∠GCM=45°，
∴∠NCM=90°，
由此可知，若點(diǎn)P在AC上，則∠MCP=90°，則點(diǎn)D與點(diǎn)C必為相似三角形對(duì)應(yīng)點(diǎn)
①若有△PCM∽△BDC，則有$\frac{MC}{CP}=\frac{CD}{BD}$
∵BD=1，CD=3，
∴CP=$\frac{MC•BD}{CD}$=$\frac{\sqrt{2}×1}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∵CD=DA=3，
∴∠DCA=45°，
若點(diǎn)P在y軸右側(cè)，作PH⊥y軸，
∵∠PCH=45°，CP=$\frac{\sqrt{2}}{3}$
∴PH=$\frac{\sqrt{2}}{3}÷\sqrt{2}$=$\frac{1}{3}$
把x=$\frac{1}{3}$代入y=-x+4，解得y=$\frac{11}{3}$，
∴P₁（$\frac{1}{3}，\frac{11}{3}$）；
同理可得，若點(diǎn)P在y軸左側(cè)，則把x=-$\frac{1}{3}$代入y=-x+4，解得y=$\frac{13}{3}$
∴P₂（$-\frac{1}{3}，\frac{13}{3}$）；
②若有△PCM∽△CDB，則有$\frac{MC}{CP}=\frac{BD}{CD}$
∴CP=$\frac{\sqrt{2}×3}{1}$=3$\sqrt{2}$
∴PH=3$\sqrt{2}$÷$\sqrt{2}$=3，
若點(diǎn)P在y軸右側(cè)，把x=3代入y=-x+4，解得y=1；
若點(diǎn)P在y軸左側(cè)，把x=-3代入y=-x+4，解得y=7
∴P₃（3，1）；P₄（-3，7）．
∴所有符合題意得點(diǎn)P坐標(biāo)有4個(gè)，分別為P₁（$\frac{1}{3}，\frac{11}{3}$），P₂（$-\frac{1}{3}，\frac{13}{3}$），P₃（3，1），P₄（-3，7）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)解析式及相似三角形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分類討論三角形相似的不同情況，結(jié)合特殊角的使用來求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．