Question

3．△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BC上，E在AB上，BD=DE，連接AD，點(diǎn)P，M，N分別是AD，BE，BC的中點(diǎn)，連接DM，AN．
（1）如圖1，若∠BAC=90°，則∠PMN=45°；
（2）如圖2，若∠BAC=60°，則∠PMN=60°；
（3）如圖3，若∠BAC=α，則∠PMN=90°-$\frac{1}{2}α$，請證明．

Answer 1

分析 連接PN，首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得DM⊥BE，進(jìn)而可得△AMD是直角三角形，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得PM=PA=$\frac{1}{2}$AD，再根據(jù)AB=AC，N是BC中點(diǎn)可得△ADN是直角三角形，進(jìn)而可得PN=PA=$\frac{1}{2}$AD，可證明點(diǎn)P是△AMN的外心，則∠PMN=∠PNM=$\frac{1}{2}$（180°-2∠MAN）=90°-∠MAN=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，然后再把（1）（2）（3）中∠BAC的度數(shù)分別代入即可．

解答 解：連接PN，
∵BD=DE，M是BE的中點(diǎn)，
∴DM⊥BE，
∴△AMD是直角三角形，
∵P是AD的中點(diǎn)，
∴PM=PA=$\frac{1}{2}$AD，
∵AB=AC，N是BC中點(diǎn)，
∴AN⊥BC，
∴△ADN是直角三角形，
∴PN=PA=$\frac{1}{2}$AD，
∴PA=PM=PN，
∴點(diǎn)P是△AMN的外心，
∴∠PMN=∠PNM=$\frac{1}{2}$（180°-2∠MAN）=90°-∠MAN=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，
（1）∵∠BAC=90°，
∴∠PMN=90°-$\frac{1}{2}×90°$=45°；

（2）∵∠BAC=60°，
∴∠PMN=90°-$\frac{1}{2}×$60°=60°；

（3）∵∠BAC=α，
∴∠PMN=90°-$\frac{1}{2}$α．

點(diǎn)評 此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握等腰三角形三線合一，在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)）．