Question

如圖，已知P是⊙O外一點，從P引兩條射線，分別與⊙O交于A、B及C，且PC²=PA•PB，求證：PC是⊙O的切線．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：證明題

分析：連接OA，OC，AC，根據(jù)PC²=PA•PB和∠P=∠P，可證明△PCA∽△PBC，則∠PCA=∠PBC，再由已知條件即可得出PC⊥OC，則PC是⊙O的切線．

解答：證明：連接OA，OC，AC，
∵PC²=PA•PB，∠P=∠P，
∴△PCA∽△PBC，
∴∠PCA=∠PBC，
設(shè)∠PCA=∠PBC=x°，
∴∠AOC=2x°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=OCA=

180°-2x°

2

=90°-x°，
∴∠PCO=∠PCA+∠OCA=90°-x°+x°=90°，
∴PC⊥OC，
∴PC是⊙O的切線．

點評：本題考查了切線的判定，以及三角形的內(nèi)角和定理、相似三角形的判定，是一道綜合性的題目，是中考壓軸題，難度中等．