Question

13．如圖，AB是半圓O的直徑，C是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CD與半圓O相切于點(diǎn)D，連接AD，BD．
（1）求證：∠BAD=∠BDC；
（2）若sin∠BDC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，BC=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連接OD，如圖，先由切線的性質(zhì)得∠ODB+∠BDC=90°，再由圓周角定理得到∠ODB+∠ODA=90°，則∠BDC=∠ODA，加上∠ODA=∠BAD，然后等量代換即可得到結(jié)論；
（2）利用正弦定義得sin∠A=sin∠BDC=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，設(shè)BD=$\sqrt{5}$x，AB=5x，則AD=2$\sqrt{5}$x，然后證明△CBD∽△CDA，則利用相似比可計(jì)算出CD和AB，從而得到圓的半徑．

解答 （1）證明：連接OD，如圖，
∵CD與半圓O相切于點(diǎn)D，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC=90°，即∠ODB+∠BDC=90°，
∵AB是半圓O的直徑，
∴∠BDA=90°，即∠ODB+∠ODA=90°，
∴∠BDC=∠ODA，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠BAD，
∴∠BAD=∠BDC；
（2）解：∵sin∠A=sin∠BDC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{BD}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
設(shè)BD=$\sqrt{5}$x，AB=5x，則AD=$\sqrt{（5x）^{2}-（\sqrt{5}x）^{2}}$=2$\sqrt{5}$x，
∵∠BAD=∠BDC，∠BCD=∠DCA，
∴△CBD∽△CDA，
∴$\frac{BC}{CD}$=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{\sqrt{5}x}{2\sqrt{5}x}$=$\frac{1}{2}$，
而BC=2，
∴CD=4，AC=8，
∴AB=AC-BC=6，
∴⊙O的半徑位3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．解決（2）小題的關(guān)鍵是構(gòu)建△CBD與△CDA相似．