Question

6．如圖，將邊長為2a（a＞0）的正方形ABCD折疊，使頂點(diǎn)A與CD邊上的點(diǎn)M重合，折線交AD于E，交BC于F，邊AB折疊后與BC交于點(diǎn)G．
（1）如果M為CD的中點(diǎn)，求證：DE：DM：EM=3：4：5；
（2）如果M為CD上任一點(diǎn)，問△CMG的周長是否與點(diǎn)M的位置有關(guān)？若有關(guān)，請把△CMG的周長用含DM長x（即DM=x，x＞0）的代數(shù)式表示；若無關(guān)，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)DE為x，則根據(jù)折疊知道DM=a，EM=EA=2a-x，然后在Rt△DEM中就可以求出x，可得出DE，DN，EM的長，從而求出它們的比值；
（2）△CMG的周長與點(diǎn)M的位置無關(guān)．設(shè)DM=x，DE=y，則CM=2a-x，EM=2a-y，然后利用正方形的性質(zhì)和折疊可以證明△DEM∽△CMG，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例可以把CG，MG分別用x，y分別表示，△CMG的周長也用x，y表示，然后在Rt△DEM中根據(jù)勾股定理可以得到4a²-x²=4ay，結(jié)合△CMG的周長，就可以判斷△CMG的周長與點(diǎn)M的位置無關(guān)．

解答 證明：（1）DE為x，則DM=a，EM=EA=2a-x，
在Rt△DEM中，∠D=90°，
∴DE²+DM²=EM²
x²+a²=（2-a）²
x=$\frac{3}{4}$a，
∴EM=$\frac{5}{4}$a．
∴DE：DM：EM=3：4：5；

（3）△CMG的周長與點(diǎn)M的位置無關(guān)．
證明：設(shè)DM=x，DE=y，則CM=2a-x，EM=2a-y，
∵∠EMG=90°，
∴∠DME+∠CMG=90°．
∵∠DME+∠DEM=90°，
∴∠DEM=∠CMG，
又∵∠D=∠C=90°，
∴△DEM∽△CMG，
∴$\frac{CG}{DM}$=$\frac{CM}{DE}$=$\frac{MG}{EM}$即$\frac{CG}{x}$=$\frac{2a-x}{y}$=$\frac{MG}{2a-y}$，
∴CG=$\frac{x（2a-x）}{y}$，MG=$\frac{（2a-x）（2a-y）}{y}$，
∴△CMG的周長為CM+CG+MG=$\frac{4{a}^{2}-{x}^{2}}{y}$，
∵在Rt△DEM中，DM²+DE²=EM²
∴x²+y²=（2a-y）²
整理得4a²-x²=4ay，
∴CM+MG+CG=$\frac{4ay}{y}$=4a．
所以△CMG，的周長為4a，與點(diǎn)M的位置無關(guān)．

點(diǎn)評 本題考查的是翻折變換的性質(zhì)、相似三角形的應(yīng)用和正方形性質(zhì)的應(yīng)用，正方形的有些題目有時(shí)用代數(shù)的計(jì)算證明比用幾何方法簡單，甚至幾何方法不能解決的用代數(shù)方法可以解決，屬于中考常考題型．