Question

16．在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y=mx²+（m-3）x-3（m＞0）的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C．
（1）求點A的坐標；
（2）當∠ABC=45°時，求m的值；
（3）已知一次函數(shù)y=-2x+b，點P（n，0）是x軸上的一個動點，過點P垂直于x軸的直線交這個一次函數(shù)的圖象于點M，交二次函數(shù)y=mx²+（m-3）x-3（m＞0）的圖象于N．若只有當-2＜n＜2時，點M位于點N的上方，求該一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析 （1）令y=0，則求得兩根，又由點A在點B左側(cè)且m＞0，所以求得點A的坐標；
（2）二次函數(shù)的圖象與y軸交于點C，即求得點C，由∠ABC=45°，從而求得m的值；
（3）由x=2和-2代入二次函數(shù)式y(tǒng)=mx²+（m-3）x-3（m＞0）中，并能求得交點坐標為（-2，2m+3）和（2，6m-9），則代入一次函數(shù)式即可求得m、b的值．

解答 解：（1）∵點A、B是二次函數(shù)y=mx²+（m-3）x-3（m＞0）的圖象與x軸的交點，
∴令y=0，即mx²+（m-3）x-3=0，
整理，得：
（x+1）（mx-3）=0
解得x₁=-1，x₂=$\frac{3}{m}$，
又∵點A在點B左側(cè)且m＞0
∴點A的坐標為（-1，0）；

（2）如圖1，由（1）可知點B的坐標為（$\frac{3}{m}$，0），
∵二次函數(shù)的圖象與y軸交于點C，
∴點C的坐標為（0，-3），
∵∠ABC=45°，
∴OB=$\frac{3}{m}$，
∴m=1；

（3）如圖2，∵只有當-2＜n＜2時，點M位于點N的上方，
∴當-2＜n＜2時，y_N＜y_M，
即一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象交點的橫坐標分別為-2和2，
把x=-2代入代入y=mx²+（m-3）x-3得y=2m+3，
∴交點E的坐標為（-2，2m+3），
把x=2代入y=mx²+（m-3）x-3得y=6m-9，
∴交點F的坐標為（2，6m-9），
∵E、F是直線y=-2x+b上的點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2m+3=4+b}\\{6m-9=-4+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴該一次函數(shù)的解析式為y=-2x+1，二次函數(shù)的解析式為y═x²-2x-3．

點評 本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題，第一問是常見的問題，令y=0可以解決，第二問根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求得，第三問的關鍵是確定交點的坐標，難度較大．