Question

20．已知拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），P是線段BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PN∥y軸交x軸于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)M．
（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）如果點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)Q是第一象限拋物線上的一點(diǎn)，且△QMC和△PMC的面積相等，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）如果PM=$\frac{3}{2}$PN，求tan∠CMN的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法，即可求出拋物線的表達(dá)式；
（2）根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法，求出直線BC的表達(dá)式，由點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，即可求出點(diǎn)P、M的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出△PMC的面積，根據(jù)△QMC和△PMC的面積相等，可求出點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為1，再利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征結(jié)合點(diǎn)Q在第一象限，即可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，此題得解；
（3）過點(diǎn)C作CH⊥MN，垂足為H，設(shè)M（m，-m²+2m+3）（0＜m＜3），則P（m，-m+3），由PM=$\frac{3}{2}$PN，可求出m的值，從而得出點(diǎn)M、P的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出MH、CH的值，再根據(jù)正切的定義，即可求出tan∠CMN的值．

解答 解：（1）將B（3，0）、C（0，3）代入y=-x²+bx+c，
得：$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$．
∴拋物線的表達(dá)式為y=-x²+2x+3．

（2）依照題意畫出圖形，如圖1所示．
設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=kx+b（k≠0），
將點(diǎn)C（0，3）、B（3，0）代入y=kx+b，
得：$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線BC的表達(dá)式為y=-x+3，
∴P（2，1），M（2，3），
∴S_△PCM=$\frac{1}{2}$CM•PM=2．
設(shè)△QCM的邊CM上的高為h，則S_△QCM=$\frac{1}{2}$×2×h=2，
∴h=2，
∴Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，
∴-x²+2x+3=1，
解得：x₁=1+$\sqrt{3}$，x₂=1-$\sqrt{3}$（舍去），
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1+$\sqrt{3}$，1）．

（3）過點(diǎn)C作CH⊥MN，垂足為H，如圖2所示．
設(shè)M（m，-m²+2m+3）（0＜m＜3），則P（m，-m+3）．
∵PM=$\frac{3}{2}$PN，
∴PN=$\frac{2}{5}$MN，
∴-m+3=$\frac{2}{5}$（-m²+2m+3），
解得：m=$\frac{3}{2}$或m=3（舍去），
∴點(diǎn)P 的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），M（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$），
∴MH=$\frac{15}{4}$-3=$\frac{3}{4}$，CH=$\frac{3}{2}$，
∴tan∠CMN=$\frac{CH}{MH}$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求一次（二次）函數(shù)解析式、二次（一次）函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、三角形的面積以及解直角三角形，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)△QMC和△PMC的面積相等，求出點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)；（3）根據(jù)PM=$\frac{3}{2}$PN，求出點(diǎn)P、M的坐標(biāo)．