Question

如圖，AB是⊙O的直徑，BC是弦，OD⊥BC于E，交

BC

于D．
（1）請寫出五個不同類型的正確結(jié)論；
（2）若BC=8，ED=2，求⊙O的半徑；
（3）若△BED∽△BCA，請你說明△OBD為等邊三角形．

Answer 1

考點：垂徑定理,勾股定理,圓周角定理,相似三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）AB是⊙O的直徑，則AB所對的圓周角是直角，BC是弦，OD⊥BC于E，則滿足垂徑定理的結(jié)論；
（2）OD⊥BC，則BE=CE=

1

2

BC=4，在Rt△OEB中，由勾股定理就可以得到關(guān)于半徑的方程，可以求出半徑；
（3）證明△BEO≌△BED即可證得．

解答：解：（1）不同類型的正確結(jié)論有：
①BE=CE；
②弧BD=弧DC；
③∠BED=90°；
④∠BOD=∠A；
⑤AC∥OD；
⑥AC⊥BC；
⑦OE²+BE²=OB²；
⑧S_△ABC=BC•OE；
⑨△BOD是等腰三角形；
⑩△BOE∽△BAC…
（2）∵OD⊥BC，
∴BE=CE=

1

2

BC=4，
設(shè)⊙O的半徑為R，則OE=OD-DE=R-2，
在Rt△OEB中，由勾股定理得：OE²+BE²=OB²，即（R-2）²+4²=R²，
解得R=5，
∴⊙O的半徑為5．
（3）∵△BED∽△BCA，
則在△BEO和△BED中，

∠OEB=∠DEB BE=BE ∠OBE=∠DBE

，
∴△BEO≌△BED（ASA），
∴OB=BD，
∴OB=BD=OD，即△OBD是等邊三角形．

點評：本題主要考查了垂徑定理，求圓的弦，半徑，弦心距的長問題可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．