Question

16．如圖1，在平面直角坐標系中，點O是坐標原點，四邊形ABCO是邊長為5的菱形，點C在x軸的正半軸上，直線AC：$y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$交y軸于點M，AB邊交y軸于點H．
（1）直接寫出A、B、C三點坐標；
（2）如圖1，動點P從點A出發(fā)，沿折線A-B-C方向以2個單位/秒的速度向終點C勻速運動，動點Q同時從點C出發(fā)，沿線段AC方向以$\sqrt{5}$個單位/秒的速度向終點A勻速運動，P、Q兩點中任意一點到達終點，另一個點隨之而停止．設△PQB的面積為S（S≠0），點P的運動時間為t秒，求S與t之間的函數(shù)關系式（要求寫出自變量t的取值范圍）；
（3）連接BM，如圖2，動點P同樣從點A出發(fā)，沿折線A-B-C方向以2個單位/秒的速度向終點C勻速運動，若tan∠MPB=$\frac{3}{4}$，并求此時直線OP與直線AC所夾銳角的正切值．

Answer 1

分析 （1）由A的坐標求出OA的長，根據(jù)四邊形ABCO為菱形，利用菱形的四條邊相等得到OC=OA，求出OC的長，即可確定出C的坐標；
（2）當點P在線段AB上時，由P的速度為2個單位/秒，時間為t秒，表示出AP，由AB-AP表示出PB，對于直線AC解析式，令x=0，得到y(tǒng)的值，即為OM的長，由OQ-OM求出MQ的長，三角形PBM以PB為底邊，MQ為高，表示出S與t的關系式，并求出t的范圍即可；當P在線段BC上時，作MQ垂直于BC，由P的速度為2個單位/秒，時間為t秒，表示出AB+BP的長，減去AB表示出BP的長，由四邊形ABCO為菱形，利用菱形的性質得到CA為角平分線，利用角平分線定理得到MQ=MO，求出MQ的長，三角形PBM以BP為底邊，MQ為高，表示出S與t的關系式，并求出t的范圍即可；
（3）根據(jù)相似三角形的判定和性質進行解答即可．

解答 解：（1）∵OA=5，
∴A（-3，4），
∵四邊形OABC為菱形，
∴OC=OA=5，
∴C（5，0），B（2，4）；
（2）①如圖1，過Q作QN⊥直線AB于N，

∵A（-3，4），C（5，0），
∴AC=$4\sqrt{5}$，sin∠ACO=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵四邊形ABCO是邊長為5的菱形，
∴sin∠NAQ=sin∠ACO=$\sqrt{5}$$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵動點Q同時從點C出發(fā)，沿線段AC方向以$\sqrt{5}$個單位/秒的速度向終點A勻速運動，
∴AQ=AC-CQ=$4\sqrt{5}$-$\sqrt{5}$t，
∴QN=4-t，
∵動點P從點A出發(fā)，沿折線ABC方向以2個單位/秒的速度向終點C勻速運動，
∴PB=5-2t，
∴△PQB的面積為S=$\frac{1}{2}$（5-2t）（4-t）=t²-$\frac{13}{2}$t+10（0≤t≤$\frac{5}{2}$）；
②如圖2，過Q作QD⊥直線CB于D

∵四邊形ABCO是邊長為5的菱形，
∴sin∠DCQ=sin∠ACO=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵動點Q同時從點C出發(fā)，沿線段AC方向以$\sqrt{5}$個單位/秒的速度向終點A勻速運動，
∴CQ=$\sqrt{5}$t，
∴Qd=t，
∵動點P從點A出發(fā)，沿折線ABC方向以2個單位/秒的速度向終點C勻速運動，
∴PB=2t-5，
∴△PQB的面積為S=$\frac{1}{2}$（2t-5）t=t²-$\frac{5}{2}$t （$\frac{5}{2}$＜t≤4）；
（3）①如圖3，∵直線AC：$y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$交y軸于點M，

∴OM=$\frac{5}{2}$，
∵四邊形ABCO是菱形  A（-3，4），
∴OH=4，AH=3，
∴MH=$\frac{3}{2}$，
∵tan∠MPB=$\frac{3}{4}$，
∴PH=2，
∴AP=1，
∵AB∥OC，
∴△AEP∽△COE，
∴AP：OC=AE：CE=1：5 由（2）①知AC=$4\sqrt{5}$，
∴AE=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
連結OB交AC于F，
∵四邊形ABCO是邊長為5的菱形，AC=$4\sqrt{5}$，
∴EF=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，OF=$\sqrt{5}$，
∴直線OP與直線AC所夾銳角∠OEC的正切值是$\frac{3}{4}$；
②∵四邊形ABCO是菱形，
∵在△OCM與△BCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=BC}\\{∠OCM=∠BCM}\\{CM=CM}\end{array}\right.$，
∴△OCM≌△BCM，
∴BM=OM=$\frac{5}{2}$，∠MBP=∠MOC=90°，
∵tan∠MPB=$\frac{3}{4}$，
∴BP=$\frac{10}{3}$，
∵AO∥BC，
∴△AEO∽△PEC，
∴AE：EC=AO：PC
由（2）①知AC=$4\sqrt{5}$，
∴EF=$\sqrt{5}$，
所以直線OP與直線AC所夾銳角∠OEC的正切值是1．

點評 此題考查了一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，勾股定理，菱形的性質，利用了數(shù)形結合及分類討論的思想，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關鍵．