Question

8．如圖，平面直角坐標系中，直線AB的解析式為y=$\frac{4}{3}x+\frac{25}{3}$，與x軸、y軸分別交于點B、D．直線AC與x軸、y軸分別交于點C、E，$\frac{OE}{OC}=\frac{5}{12}，CE=\frac{169}{12}$．
（1）若OG⊥CE于G，求OG的長度；
（2）求四邊形ABOE的面積；
（3）已知點F（5，0），在△ABC的邊上取兩點P，Q，是否存在以O(shè)、Q、P為頂點的三角形與△OFP全等，且這兩個三角形在OP的異側(cè)？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出直線CE解析式，得到線段OE、OC、CE長度，利用面積法求出線段OG．
（2）利用分割法，將四邊形分割成一個三角形和一個梯形，求出面積即可．
（3）通過觀察可以發(fā)現(xiàn)Q點與點G重合，通過直線求出點P坐標即可．

解答 解：（1）∵$\frac{OE}{OC}=\frac{5}{12}，CE=\frac{169}{12}$，
設(shè)OE=5x，OC=12x，
∴（5x）²+（12x）²=（$\frac{169}{12}$）²，
解得x=$\frac{13}{12}$，
∴OE=$\frac{65}{12}$，OC=$\frac{156}{12}$，
∵OG⊥CE于G，
$\frac{1}{2}$×$\frac{65}{12}$×$\frac{156}{12}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{169}{12}$×OG，
解得：OG=$\frac{60}{12}$=5．
∴OG的長度為5．

（2）∵$\frac{OE}{OC}$=$\frac{5}{12}$，
設(shè)直線CE解析式為：y=-$\frac{5}{12}$x+b，
∵OE=$\frac{65}{12}$，
∴直線CE解析式為：y=-$\frac{5}{12}$x+$\frac{65}{12}$，
聯(lián)系方程組：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x+\frac{25}{3}}\\{y=-\frac{5}{12}x+\frac{65}{12}}\end{array}\right.$，
解得：x=-$\frac{35}{21}$，y=$\frac{55}{9}$，
∴A（-$\frac{35}{21}$，$\frac{55}{9}$）．
如圖，過點A做AH⊥x軸，

∵直線AB的解析式為y=$\frac{4}{3}x+\frac{25}{3}$，與x軸、y軸分別交于點B、D，
∴B（-$\frac{25}{4}$，0），
∴S_{四邊形ABOE}=S_△ABH+S_梯形ABOE
=$\frac{1}{2}$（$\frac{25}{4}$-$\frac{35}{21}$）×$\frac{55}{9}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{55}{9}$+$\frac{65}{12}$）×$\frac{35}{21}$
=$\frac{118}{5}$．
答：四邊形ABOE的面積為$\frac{118}{5}$．

（3）存在．
當點Q在AC上時，OG=OF=5，
∵點Q即為點G，
∴△OPQ≌△OPG，
∵F（5，0），直線CE解析式為：y=-$\frac{5}{12}$x+$\frac{65}{12}$，
∴P（5，$\frac{10}{3}$）．
作OQ⊥AB，Q為垂足，連接QF，作QF的垂直平分線交AC于P．
此時△OPQ≌△OPF，解得P（$\frac{65}{41}$，$\frac{195}{41}$）．
綜上所述，P（5，$\frac{10}{3}$）或P（$\frac{65}{41}$，$\frac{195}{41}$）．

點評 題目考查了一次函數(shù)綜合應(yīng)用，同時題目對面積求解、全等三角形進行考查，題目運算較難，需要注意運算的正確性．