Question

6．如圖，把一張長為8cm，寬為4cm 的長方形紙片折疊，折疊后使相對的兩個點A、C重合，點D落在D′，折痕為EF．
（1）試說明△AEF是等腰三角形；
（2）求重合部分的面積．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質得出AD∥BC，由平行線的性質得出∠AEF=∠CFE，由折疊的性質得出∠AFE=∠CFE，AF=CF，求出∠AEF=∠AFE，得出AE=AF即可；
（2）設AE=AF=CF=x，則BF=BC-CF=8-x，在Rt△ABF中，由勾股定理得出方程，解方程求出AE=5cm，求出△AEF的面積即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B=90°，
∴∠AEF=∠CFE，
由折疊的性質得：∠AFE=∠CFE，AF=CF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
即△AEF是等腰三角形；

（2）解：∵AE=AF，AF=CF，
∴AE=AF=CF，
設AE=AF=CF=x，則BF=BC-CF=8-x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB²+BF²=AF²，
即4²+（8-x）²=x²，
解得：x=5，
∴AE=5cm，
∴△AEF的面積=$\frac{1}{2}$×5×4=10（cm²），
即重合部分的面積為10cm²．

點評 本題考查了矩形的性質、折疊的性質、等腰三角形的判定、勾股定理以及三角形面積的計算；熟練掌握矩形的性質和折疊的性質，由勾股定理得出方程是解決問題（2）的關鍵．