Question

5．如圖，在?ABCD中，AE⊥BD于點(diǎn)E，CF⊥BD于點(diǎn)F，G、H分別為AD、BC的中點(diǎn)．求證：EF、GH互相平分．

Answer 1

分析 連接BG、DH，由平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD，AD=BC，AB∥CD，由平行線的性質(zhì)得出∠ABE=∠CDF，由AAS證明△ABE≌△CDF，得出BE=DF，證明四邊形BHDG是平行四邊形，得出對(duì)角線互相平分OG=OH，OB=OD，求出OE=OF，結(jié)論得出結(jié)論．

解答 證明：連接BG、DH，如圖所示：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在△ABE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CDF}&{\;}\\{∠AEB=∠CFD}&{\;}\\{AB=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF，
∵G、H分別為AD、BC的中點(diǎn)，
∴DG=BH，
∴四邊形BHDG是平行四邊形，
∴OG=OH，OB=OD，
∴OB-BE=OD-DF，
∴OE=OF，
即EF、GH互相平分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；證明四邊形BHDG是平行四邊形得出對(duì)角線互相平分是解決問題的突破口．