Question

16．如圖，AB，CD是⊙O的兩條直徑，∠AOC=120°，P是弧BD上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，D重合），AP，CP分別交CD，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)．若S_△AOE+S_△COF=2$\sqrt{3}$，則⊙O的半徑為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 連接BC，由∠AOC=120°知△BOC為等邊三角形，進(jìn)而得∠CBF=∠AOE=60°、BC=OA，證△BCF≌△OAE得S_△BCF=S_△OAE，根據(jù)S_△AOE+S_△COF=2$\sqrt{3}$知等邊三角形S_△BOC=2$\sqrt{3}$，結(jié)合等邊三角形面積求法可得圓的半徑．

解答 解：如圖，連接BC，

∵∠AOC=120°，
∴∠BOC=∠AOD=60°，
又∵OB=OC，
∴△BOC為等邊三角形，
∴∠CBF=∠AOE=60°，BC=OC=OB=OA，
在△BCF和△OAE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠CBF=∠AOE}&{\;}\\{BC=OA}&{\;}\\{∠BCF=∠OAE}&{（\widehat{BP}所對圓周角相等）}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△OAE（ASA），
∴S_△BCF=S_△OAE，
∵S_△AOE+S_△COF=2$\sqrt{3}$，
∴S_△BCF+S_△COF=S_△BOC=2$\sqrt{3}$，即$\frac{\sqrt{3}}{4}$OC²=2$\sqrt{3}$，
解得：OC=2$\sqrt{2}$，
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查等邊三角形的判定與面積的求法、全等三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理等知識點(diǎn)，有一定的綜合性，通過證明全等將兩個(gè)無聯(lián)系的三角形的面積連接到一起是解題的切入點(diǎn)和關(guān)鍵．