Question

17．如圖，?ABCD，點E是BC邊的一點，將邊AD延長至點F，使∠AFC=∠DEC，連接CF、DE．
（1）求證：四邊形DECF是平行四邊形；
（2）若AB=13，DF=14，tanA=$\frac{12}{5}$，求CF的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，求出DE∥CF，根據(jù)平行四邊形的判定得出即可；
（2）過D作DM⊥EC于M，根據(jù)勾股定理求出DM和CM，求出DE，即可求出答案．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE=∠DEC，
∵∠AFC=∠DEC，
∴∠AFC=∠ADE，
∴DE∥CF，
∵AD∥BC，
∴DF∥CE，
∴四邊形DECF是平行四邊形；

（2）解：過D作DM⊥EC于M，則∠DMC=∠DME=90°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DC=AB=13，∠DCB=∠A，
∵tanA=$\frac{12}{5}$，
∴tan∠DCB=$\frac{12}{5}$=$\frac{DM}{MC}$，
設(shè)DM=12xCM=5x，
由勾股定理得：（12x）²+（5x）²=13²，
解得：x=1，
即CM=5，DM=12，
∵CE=14，
∴EM=14-5=9，
在Rt△DME中，由勾股定理得：DE=$\sqrt{1{2}^{2}+{9}^{2}}$=15，
∵四邊形DECF是平行四邊形，
∴CF=DE=15．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，勾股定理，解直角三角形的應(yīng)用，能靈活運用性質(zhì)進行推理和計算是解此題的關(guān)鍵．