Question

14．如圖，矩形ABCD中，AB=5，BC=10，點(diǎn)E是BC上一動(dòng)點(diǎn)，將△ABE沿AE翻折得到△AEF，當(dāng)DF=3$\sqrt{5}$時(shí)，BE=$\frac{5}{2}$或10．

Answer 1

分析 分兩種情況進(jìn)行討論：點(diǎn)F在AD下方；點(diǎn)F在AD上方，分別過(guò)F作GH⊥BC于H，交AD于G，先根據(jù)勾股定理求得AG=4，GF=3，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例列式計(jì)算，即可得到EF的長(zhǎng)，進(jìn)而由折疊的性質(zhì)得出BE的長(zhǎng)．

解答 解：分兩種情況：
①如圖，當(dāng)點(diǎn)F在AD下方時(shí)，過(guò)F作GH⊥BC于H，交AD于G，則FG⊥AD，

由折疊可得AF=AB=5，
設(shè)AG=x，則DG=10-x，
∵AF²-AG²=GF²=DF²-DG²，
∴5²-x²=（3$\sqrt{5}$）²-（10-x）²，
解得x=4，
∴AG=4，
∴Rt△AGF中，GF=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴FH=5-3=2，
∵∠AGF=∠FHE=90°=∠AFE，
∴∠GAF=∠HFE，
∴△GAF∽△HFE，
∴$\frac{EF}{FA}$=$\frac{FH}{AG}$，即$\frac{EF}{5}$=$\frac{2}{4}$，
∴EF=$\frac{5}{2}$，
∴BE=FE=$\frac{5}{2}$；

②如圖，當(dāng)點(diǎn)F在AD上方時(shí)，過(guò)F作FH⊥BC于H，交AD于G，則FG⊥AD，

同理可得AG=4，F(xiàn)G=3，
∵GH=AB=5，
∴FH=3+5=8，
∵∠AFE=∠AGF=90°，
∴∠FAG=∠EFH，
又∵∠AGF=∠FHE=90°，
∴△AGF∽△FHE，
∴$\frac{EF}{FA}$=$\frac{HF}{GA}$，即$\frac{EF}{5}$=$\frac{8}{4}$，
∴FE=10，
∴BE=FE=10，
綜上所述，BE的長(zhǎng)為$\frac{5}{2}$或10．
故答案為：$\frac{5}{2}$或10．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了折疊問(wèn)題、矩形的性質(zhì)、勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形以及相似三角形，依據(jù)勾股定理以及相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算求解．