Question

9．如圖，正方形紙片ABCD的邊長為6，E為AB的三等分點，F為DC的三等分點，O為EF中點，將正方形紙片折疊使R與O重合，折痕為MN，使D與O重合，折痕為PQ，連接PM，則PM=$\frac{115}{24}$．

Answer 1

分析 先過O作OH⊥AD于H，設BM=OM=x，DP=OP=y，則EM=4-x，HP=3-y，Rt△EOM中根據勾股定理，得到方程（4-x）²+3²=x²，Rt△HOP中，根據勾股定理得到方程（3-y）²+2²=y²，進而得出AM，AP的長，最后根據勾股定理即可得到PM的長．

解答 解：如圖所示，過O作OH⊥AD于H，

由題可得EB=4，DH=3，OH=2，OE=3，
設BM=OM=x，DP=OP=y，則EM=4-x，HP=3-y，
Rt△EOM中，（4-x）²+3²=x²，
Rt△HOP中，（3-y）²+2²=y²，
解得x=$\frac{25}{8}$，y=$\frac{13}{6}$，
∴AM=6-$\frac{25}{8}$=$\frac{23}{8}$，AP=6-$\frac{13}{6}$=$\frac{23}{6}$，
∴Rt△APM中，PM=$\sqrt{A{M}^{2}+A{P}^{2}}$=$\frac{115}{24}$．
故答案為：$\frac{115}{24}$．

點評 本題主要考查了折疊問題以及正方形的性質的綜合應用，解題時注意：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，對應邊和對應角相等．解決問題的關鍵是設要求的線段長為x，然后根據折疊和軸對稱的性質用含x的代數式表示其他線段的長度，選擇適當的直角三角形，運用勾股定理列出方程求出答案．