Question

10．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，將AB邊繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AD，將AC邊繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到線段CE，AE與BD交于點(diǎn)F，若DF=$\sqrt{2}$，EF=2$\sqrt{2}$，則BC邊的長(zhǎng)為$\sqrt{7}$-1．

Answer 1

分析 因?yàn)橛尚�轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△ABD與△ACE是等腰直角三角形，為建立與已知邊長(zhǎng)DF、FE的聯(lián)系，故想到過點(diǎn)C作CG⊥BC，交BD于點(diǎn)G，連接EG，接著證明
△ABC≌△EGC、△AFD≌△EFG，從而求出AE與DG的長(zhǎng)，設(shè)BC=a，則用含a的式子表示AB，然后根據(jù)勾股定理求得BC 的長(zhǎng)．

解答 解：如下圖所示：

過點(diǎn)C作CG⊥BC，交BD于點(diǎn)G，連接EG，
易證CG=BC，∠BCA=∠GCE，AC=CE，
∴△ABC≌△EGC，
∴GE=AB=AD，∠CEG=∠CAB，
∵∠DAE=90°-45°-∠BAC=45°-∠BAC，而∠AEG=45°-∠CEG，
∴∠DAE=∠AEG
又∵∠AFD=∠EFG（對(duì)頂角相等），GE=AD，
∴△AFD≌△EFG，
∴AF=EF，DF=GF，
∴AE=2EF=4$\sqrt{2}$，DG=2$\sqrt{2}$，
∴AC=CE=4
設(shè)BC=CG=a，則BG=$\sqrt{2}$a
∴BD=$\sqrt{2}$a+2$\sqrt{2}$，AD=AB=a+2，
在RT△ABC中，（a+2）²+a²=4²，
解得a=-$\sqrt{7}$-1（舍去）或a=$\sqrt{7}-1$，
   即：BC邊的長(zhǎng)為$\sqrt{7}$-1

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是建立與題目已知條件相聯(lián)系的輔助線，構(gòu)造全等三角形，轉(zhuǎn)移相等關(guān)系．