Question

3．（1）如圖1，OC平分∠AOB，點(diǎn)D是射線OA邊上一點(diǎn)，點(diǎn)P、Q分別在射線OC、OB上運(yùn)動(dòng)，已知OD=10，∠AOC=30°，則DP+PQ的最小值是10；
（2）如圖2，在菱形ABCD中，AB=8，∠DAB=60°，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，求EF+BF的最小值；
（3）如圖3，在矩形ABCD中，AB=8，AD=4，點(diǎn)M是AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出MN+BN的最小值．

Answer 1

分析 （1）如圖1，作D關(guān)于直線OC的對(duì)稱點(diǎn)Q，則DQ的長(zhǎng)度就是DP+PQ的最小值，由OC平分∠AOB，∠AOC=30°，得到∠DOQ=60°，于是得到△DOQ是等邊三角形，即可得到結(jié)果；
（2）由菱形的性質(zhì)，找出B點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D，連接DE，則DE就是FE+FB的最小值，再由勾股定理可求出DE；
（3）作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，過(guò)點(diǎn)B′作B′M⊥AB于M，交AC于N，連接AB′交DC于P，連接BM，再根據(jù)矩形、軸對(duì)稱、等腰三角形的性質(zhì)得出PA=PC，那么在Rt△ADP中，運(yùn)用勾股定理求出PA的長(zhǎng)，然后由cos∠B′AM=cos∠APD，求出AM的長(zhǎng)．

解答 解：（1）如圖1，作D關(guān)于直線OC的對(duì)稱點(diǎn)Q，則DQ的長(zhǎng)度就是DP+PQ的最小值，
∵OC平分∠AOB，∠AOC=30°，
∴∠DOQ=60°，
∴△DOQ是等邊三角形，
∴DQ=OD=10，
∴DP+PQ的最小值是10，
故答案為：10；

（2）連接DE、BD，
由菱形的對(duì)角線互相垂直平分，可得B、D關(guān)于AC對(duì)稱，則FD=FB，
∴FE+FB=EF+FD=DE，
即DE就是FE+FB的最小值，
∵∠BAD=60°，AD=AB，
∴△ABD是等邊三角形，
∵AE=BE，
∴DE⊥AB（等腰三角形三線合一的性質(zhì)），
在Rt△ADE中，DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴EF+BF的最小值=4$\sqrt{3}$；

（3）如圖3，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，過(guò)點(diǎn)B′作B′M⊥AB于M，交AC于N，
連接AB′交DC于P，連接BN，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，
∴∠BAC=∠PCA，
∵點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)是B′，
∴∠PAC=∠BAC，
∴∠PAC=∠PCA，
∴PA=PC．
令PA=x，則PC=x，PD=8-x．
在Rt△ADP中，∵PA²=PD²+AD²，
∴x²=（8-x）²+4²，
∴x=5，
∵cos∠B′AM=cos∠APD，
∴AM：AB′=DP：AP，
∴AM：8=3：5，
∴AM=$\frac{24}{5}$，
∴B′M=$\sqrt{AB{′}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-（\frac{24}{5}）^{2}}$=$\frac{32}{5}$，
∴MN+BN的最小值=$\frac{32}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，矩形的性質(zhì)，根據(jù)垂線段最短作出輔助線，確定點(diǎn)P，Q，E，F(xiàn)，M、N的位置是解答此題的關(guān)鍵．