Question

14．如圖1，在四邊形ABCD的AB邊上任取一點(diǎn)E（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合，分別連接ED，EC，可以把四邊形ABCD分成3個(gè)三角形．如果其中有2個(gè)三角形相似，我們就把點(diǎn)E叫做四邊形ABCD的AB邊上的相似點(diǎn)；如果這3個(gè)三角形都相似，我們就把點(diǎn)E叫做四邊形ABCD的AB邊上的強(qiáng)相似點(diǎn)．
（1）若圖1中，∠A=∠B=∠DEC=50°，證明點(diǎn)E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點(diǎn)．
（2）①如圖2，畫(huà)出矩形ABCD的AB邊上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)．（要求：畫(huà)圖工具不限，不寫(xiě)畫(huà)法，保留畫(huà)圖痕跡或有必要的說(shuō)明）
②對(duì)于任意的一個(gè)矩形，是否一定存在強(qiáng)相似點(diǎn)？如果一定存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不一定存在，請(qǐng)舉出反例．
（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B=90°，點(diǎn)E是四邊形ABCD的AB邊上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，判斷AE與BE的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）要證明點(diǎn)E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點(diǎn)，只要證明有一組三角形相似就行，很容易證明△ADE∽△EBC，所以問(wèn)題得解；
（2）①以CD為直徑畫(huà)弧，取該弧與AB的一個(gè)交點(diǎn)即為所求．②不一定存在強(qiáng)相似點(diǎn)，如正方形；
（3）因?yàn)辄c(diǎn)E是梯形ABCD的AB邊上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，所以就有相似三角形出現(xiàn)，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例，可以判斷出AE和BE的數(shù)量關(guān)系，從而可求出解．

解答 解：（1）理由：∵∠A=50°，
∴∠ADE+∠DEA=130°，
∵∠DEC=50°，
∴∠BEC+∠DEA=130°，
∴∠ADE=∠BEC，
∵∠A=∠B，
∴△ADE∽△BEC，
∴點(diǎn)E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點(diǎn)；
（2）①以CD為直徑畫(huà)弧，取該弧與AB的一個(gè)交點(diǎn)即為所求，
如圖2所示：連接FC，DF，
∵CD為直徑，∴∠DFC=90°，
∵CD∥AB，
∴∠DCF=∠CFB，
∵∠B=90°，
∴△DFC∽△CBF，
同理可得出：△DFC∽△FAD，
②對(duì)于任意的一個(gè)矩形，不一定存在強(qiáng)相似點(diǎn)，如正方形．
（3）第一種情況：∠A=∠B=∠DEC=90°，∠ADE=∠BEC=∠EDC，
即△ADE∽△BEC∽△EDC，
∵點(diǎn)E是梯形ABCD的邊AB上的強(qiáng)相似點(diǎn)，
∴△ADE，△BEC以及△CDE是兩兩相似的，
∵△ADE是直角三角形，
∴△DEC也是直角三角形，
當(dāng)∠DEC=90°時(shí)，
①∠CDE=∠DEA，
∴DC∥AE，
這與四邊形ABCD是梯形相矛盾，不成立；
②∠CDE=∠EDA，
∵∠ECD+∠EDC=90°，∠ADE+∠AED=90°，
∴∠AED=∠ECD，
∵∠AED+∠BEC=90°，∠BEC+∠BCE=90°，
∴∠AED=∠BCE，
∴∠AED=∠BCE=∠ECD，
∴DE平分∠ADC，同理可得，CE平分∠DCB，
如圖3，過(guò)E作EF⊥DC，
∵AE⊥AD，BE⊥BC，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，
∴AE=FE，BE=FE，
∴AE=BE，
第二種情況：∠A=∠B=∠EDC=90°，∠ADE=∠BCE=∠DCE，
即△ADE∽△BEC∽△DCE．
所以∠AED=∠BEC=∠DEC=60°，
說(shuō)明AE=$\frac{1}{2}$DE，BE=$\frac{1}{2}$CE，DE=$\frac{1}{2}$CE，
所以AE=$\frac{1}{2}$BE．
綜上，AE=BE或AE=$\frac{1}{2}$BE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、梯形的性質(zhì)以及理解相似點(diǎn)和強(qiáng)相似點(diǎn)的概念，掌握強(qiáng)相似點(diǎn)的概念、正確運(yùn)用相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論思想的正確運(yùn)用．