Question

如圖，正方形ABOD的邊長是2，C為AB的中點，直線CD交x軸于點F．
（1）求直線CD所在的函數解析式；
（2）在x軸上取點E，連DE，使得∠1=∠2，試說明EC⊥CD的理由；
（3）求點E的坐標．

Answer 1

解：（1）根據題意知，C（-2，1）、D（0，2），則過C、D兩點的直線方程為：
=，整理得，
y=0.5x+2；
∴直線CD所在的函數解析式是y=0.5x+2；

（2）證明：在△ACD和△BCF中，
∵C為AB的中點，
∴AC=BC；
∵∠ACD=∠BCF（對頂角相等），∠A=∠CBF=90°，
∴△ACD≌△BCF；
∴CD=CF；∠1=∠DFE，
又∵∠1=∠2，
∴∠DFE=∠2，
∴DE=EF，
∴CE⊥CD；

（3）由（2）知，DE=EF，
∴DE+OE=EF+EO=4；
在Rt△DEO中，OE²+OD²=DE²
即OE²+2²=（4-OE）²，
解得OE=1.5，
∴E（-1.5，0）．
分析：（1）由題意知點C、D的坐標，利用“兩點式”來求直線CD所在的函數解析式；
（2）先證△ACD≌△BCF，再根據全等三角形的性質：對應邊相等知，CD=CF；對應角相等∠1=∠DFE=∠2；故DE=EF，由等腰三角形的性質得出結論CE⊥CD；
（3）由（1）知DE=EF，所以DE+OE=EF+EO=4，在Rt△DEO中，根據勾股定理的，OE²+OD²=DE²，即OE²+2²=（4-OE）²，解得OE=1.5所以點E的坐標就迎刃而解了．
點評：（1）用待定系數法求一次函數解析式，是常用的一種解題方法；
（2）本題主要考查的是全等三角形的判定、性質以及等腰三角形的性質；
（3）本題主要考查的是直角三角形的性質．