Question

如圖，正方形ABOD的邊長(zhǎng)是2，C為AB的中點(diǎn)，直線(xiàn)CD交x軸于點(diǎn)F．
（1）求直線(xiàn)CD所在的函數(shù)解析式；
（2）在x軸上取點(diǎn)E，連DE，使得∠1=∠2，試說(shuō)明EC⊥CD的理由；
（3）求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由題意知點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，利用“兩點(diǎn)式”來(lái)求直線(xiàn)CD所在的函數(shù)解析式；
（2）先證△ACD≌△BCF，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊相等知，CD=CF；對(duì)應(yīng)角相等∠1=∠DFE=∠2；故DE=EF，由等腰三角形的性質(zhì)得出結(jié)論CE⊥CD；
（3）由（1）知DE=EF，所以DE+OE=EF+EO=4，在Rt△DEO中，根據(jù)勾股定理的，OE²+OD²=DE²，即OE²+2²=（4-OE）²，解得OE=1.5所以點(diǎn)E的坐標(biāo)就迎刃而解了．

解答：解：（1）根據(jù)題意知，C（-2，1）、D（0，2），則過(guò)C、D兩點(diǎn)的直線(xiàn)方程為：

y-1

2-1

=

x-(-2)

0-(-2)

，整理得，
y=0.5x+2；
∴直線(xiàn)CD所在的函數(shù)解析式是y=0.5x+2；

（2）證明：在△ACD和△BCF中，
∵C為AB的中點(diǎn)，
∴AC=BC；
∵∠ACD=∠BCF（對(duì)頂角相等），∠A=∠CBF=90°，
∴△ACD≌△BCF；
∴CD=CF；∠1=∠DFE，
又∵∠1=∠2，
∴∠DFE=∠2，
∴DE=EF，
∴CE⊥CD；

（3）由（2）知，DE=EF，
∴DE+OE=EF+EO=4；
在Rt△DEO中，OE²+OD²=DE²
即OE²+2²=（4-OE）²，
解得OE=1.5，
∴E（-1.5，0）．

點(diǎn)評(píng)：（1）用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，是常用的一種解題方法；
（2）本題主要考查的是全等三角形的判定、性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)；
（3）本題主要考查的是直角三角形的性質(zhì)．