Question

15．如圖，已知△ABC是邊長為12cm的等邊三角形，動點P，Q同時從AB兩點出發(fā)，分別沿AB、BC勻速運動，其中點P運動的速度是2cm/s，點Q運動的速度是4cm/s，當點Q到達點C時，P、Q兩點都停止運動，設運動時間為t（s），解答下列問題：
（1）當t=2時，判斷△BPQ的形狀，并說明理由；
（2）設△BPQ的面積為S（cm²），求S與t的函數(shù)關系式；
（3）作QR∥BA交AC于點R，連接PR，當t為何值時，△APR∽△PRQ．

Answer 1

分析 （1）結論：△PBQ是等邊三角形．只要證明BP=BQ，∠B=60°即可；
（2）∠B為60°特殊角，過Q作QE⊥AB，垂足為E，則BQ、BP、高EQ的長可用t表示，S與t的函數(shù)關系式也可求；
（3）由題意△CRQ為等邊三角形，首先證明四邊形EPRQ是矩形，由△APR∽△PRQ，可得出∠QPR=60°，利用60°的特殊角列出方程即可求得t的值．

解答 解：（1）結論：△PBQ是等邊三角形．
理由：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC=12，∠A=∠B=∠C=60°，
∵t=2，
∴AP=4，BQ=8，
∴PB=AB-AP=8，
∴BP=BQ，∵∠B=60°，
∴△PBQ是等邊三角形．

（2）過Q作QE⊥AB，垂足為E
由QB=4t，得QE=4t•sin60°=2$\sqrt{3}$t
由AP=2t，得PB=12-2t
∴S_△BPQ=$\frac{1}{2}$×BP×QE=$\frac{1}{2}$（12-2t）×2$\sqrt{3}$t=-2$\sqrt{3}$t²+12$\sqrt{3}$t．

（3）∵QR∥BA
∴∠QRC=∠A=60°，∠RQC=∠B=60°
∴△QRC是等邊三角形
∴QR=RC=QC=12-4t
∵BE=BQ•cos60°=$\frac{1}{2}$×4t=2t
∴EP=AB-AP-BE=12-2t-2t=12-4t
∴EP∥QR，EP=QR
∴四邊形EPRQ是平行四邊形
∴PR=EQ=2$\sqrt{3}$t
又∵∠PEQ=90°，
∴四邊形EPRQ是矩形，
∴∠APR=∠PRQ=90°
∵△APR∽△PRQ，
∴∠QPR=∠A=60°
∴tan60°=$\frac{QR}{PR}$，即$\frac{12-4t}{2\sqrt{3}t}$=$\sqrt{3}$
解得t=$\frac{6}{5}$
∴當t=$\frac{6}{5}$s時，△APR∽△PRQ．

點評 本題考查等邊三角形的判定及性質(zhì)、三角形相似、解直角三角形、銳角三角函數(shù)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會利用方程的思想思考問題，屬于中考壓軸題．