Question

4．如圖，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的圓弧交y軸于點(diǎn)A（0，5），交x軸于點(diǎn)B，正方形CDEF內(nèi)接于扇形AOB（其中C在y軸上、D在x軸上，E、F在$\widehat{AB}$上），則正方形CDEF的邊長(zhǎng)為（　�。�

• A． 3
• B． $\frac{5（\sqrt{5}-1）}{2}$
• C． $\sqrt{10}$
• D． 以上都不正確

Answer 1

分析 過(guò)O作OG⊥EF，交CD于點(diǎn)H，連接OF，設(shè)CH=a，根據(jù)正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)可得OG=3a，在Rt△OEG中，根據(jù)勾股定理可得a的值，進(jìn)一步得到正方形CDEF的邊長(zhǎng)．

解答 解：過(guò)O作OG⊥EF，交CD于點(diǎn)H，連接OF，
設(shè)CH=a，
∵四邊形CDEF是正方形，
∴OH⊥CD，△OCD是等腰直角三角形，
∴CH=DH=a，
∵∠AOB=90°，
∴CH=OH，
∴OG=3a，
在Rt△OFG中，OF²=GF²+OG²，即5²=a²+（3a）²，
解得a=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴CF=2a=$\sqrt{10}$．
故正方形CDEF的邊長(zhǎng)為$\sqrt{10}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是垂徑定理及勾股定理，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫(huà)出圖形，作出輔助線(xiàn)，構(gòu)造出直角三角形，再進(jìn)行解答．