Question

如圖，△ABC中∠C=90°，AC=16cm，BC=12cm，兩動點P，Q分別從點A，點C同時出發(fā)，點P以4cm/秒的速度沿AC方向運動，點Q以3cm/s的速度沿CB方向運動，設(shè)運動時間為t秒（0＜t＜4）．
（1）當(dāng)t=1時，求△PQC的面積和四邊形APQB的面積；
（2）試用含t的代數(shù)式表示四邊形APQB的面積S；并求出S的最小值；
（3）若點O為AB的中點，是否存在著t值使得OP⊥OQ？若存在請求出t值，若不存在請說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),三角形的面積,勾股定理

專題：動點型

分析：（1）由t=1確定出AP與CQ的長，根據(jù)AC-AP求出PC的長，求出三角形PCQ面積，由三角形ABC面積減去三角形PCQ面積表示出S即可；
（2）由t表示出AP于CQ，進而表示出CP，得出三角形PCQ面積，由三角形ABC面積減去三角形PCQ面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出S的最小值即可；
（3）延長QO至Q′，使OQ′=OQ，連結(jié)A Q′，P Q′，若存在t值使OP⊥OQ，則OP垂直平分Q Q′，利用SAS得出△AOQ′≌△BOQ，得到AQ′=BQ=12-3t，∠OAQ′=∠B，利用勾股定理求出t的值即可．

解答：解：（1）當(dāng)t=1時，AP=4，CQ=3，
∴PC=AC-AP=16-4=12，
∴S_△PCQ=

1

2

PC•CQ=

1

2

×12×3=18（cm²），S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

×16×12=96（cm²），
則S=S_{四邊形APQB}=S_△ABC-S_△PCQ=96-18=78（cm²）；
（2）當(dāng)0＜t＜4時，AP=4t，CQ=3t，
∴CP=16-4t
∴S_△PCQ=

1

2

PC•CQ=

1

2

×（16-4t）×3t=24t-6t²（cm²），
∴S=S_{四邊形APQB}=S_△ABC-S_△PCQ=96-（24t-6t²）=6t²-24t+96=6（t-2）²+72（cm²），
∵（t-2）²≥0，
∴S≥72，
則當(dāng)t=2s時，四邊形APQB的面積取得最小值為72cm²；
（3）延長QO至Q′，使OQ′=OQ，連結(jié)A Q′，P Q′，
若存在t值使OP⊥OQ，則OP垂直平分Q Q′，
∴PQ′=PQ，
∴PQ²=PQ²，
∵OA=OB，∠AOQ′=∠BOQ，OQ′=OQ，
∴△AOQ′≌△BOQ，
∴AQ′=BQ=12-3t，∠OAQ′=∠B，
由∠C=90°得∠CAB+∠B=90°，
∴∠CAB+∠OAQ′=90°，即∠PAQ′=90°，）
由勾股定理得：PQ²=AP²+AQ²=（4t）²+（12-3t）²，
在Rt△PCQ中，PQ²=PC²+CQ²=（16-4t）²+（3t）²，
∴（4t）²+（12-3t）²=（16-4t）²+（3t）²，
解得：t=2，
∴存在t值當(dāng)t=2（s）時OP⊥OQ．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，以及勾股定理，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．