Question

18．如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，點(diǎn)P為BC上任意一點(diǎn)，連接PA，以PA、PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，連接PQ，則PQ的最小值為$\frac{24}{5}$．

Answer 1

分析 設(shè)PQ與AC交于點(diǎn)O，作OP′⊥BC于P′．首先求出OP′，當(dāng)P與P′重合時(shí)，PQ的值最小，PQ的最小值=2OP′．

解答 解：設(shè)PQ與AC交于點(diǎn)O，作OP′⊥BC于P′．

在Rt△ABC中，BC=$\sqrt{A{C}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵∠OCP′=∠ACB，∠OP′C=∠CAB，
∴△COP′∽△CBA，
∴$\frac{CO}{CB}$=$\frac{OP′}{AB}$，
∴$\frac{4}{10}$=$\frac{OP′}{6}$，
∴OP′=$\frac{12}{5}$，
當(dāng)P與P′重合時(shí)，PQ的值最小，PQ的最小值=2OP′=$\frac{24}{5}$．
故答案為$\frac{24}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平行四邊形的性質(zhì)．直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，利用垂線段最短解決最值問(wèn)題，屬于中考常考題型．