Question

11．閱讀理解
（一）閱讀與思考
通過解方程（組）使問題得到解決的思維方式就是方程思想，剛學(xué)過的《勾股定理》及《一次函數(shù)》都與它有密切的聯(lián)系．暑假后，方程家族也將迎來《一元二次方程》這一新成員，它的求解方法之一“配方法”，相信你一學(xué)就會，例如：解一元二次方程x²+2x-1=0
解：x²+2x-1=0⇒x²+2x+1=2⇒（x+1）²=2⇒x+1=$\sqrt{2}$或x+1=-$\sqrt{2}$
∴x=-1+$\sqrt{2}$或x=-1-$\sqrt{2}$
（二）解決問題
 如圖1，矩形ABCD中，AB=9，AD=12，點G在CD上，且DG=5，點P從點B出發(fā)，以1單位每秒的速度在BC邊上向點C運動，設(shè)點P的運動時間為x秒．
（1）△APG的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求y=34時x的值；
（2）在點P從B向C運動的過程中，是否存在使AP⊥GP的時刻？若存在，求出x的值，若不存在，請說明理由；
（3）如圖2，M，N分別是AP、PG的中點，在點P從B向C運動的過程中，線段MN所掃過的圖形是什么形狀平行四邊形，并直接寫出它的面積15．

Answer 1

分析 （1）PB=x，PC=12-x，然后依據(jù)△APG的面積=矩形的面積-三個直角三角形的面積可得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式，然后將y=34代入函數(shù)關(guān)系式可求得x的值；
（2）先依據(jù)勾股定理求得PA、PG、AG的長，然后依據(jù)勾股定理的逆定理列出關(guān)于x的方程，從而可求得x的值；
（3）確定出點P分別與點B和點C重合時，點M、N的位置，然后依據(jù)三角形的中位線定理可證明M₁M₂∥N₁N₂，N₁N₂=M₁M₂，從而可判斷出MN掃過區(qū)域的形狀，然后依據(jù)平行四邊形的面積公式求解即可．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，
∴DC=AB=9，AD=BC=12．
∵DG=5，
∴GC=4．
∵PB=x，PC=12-x，
∴y=9×12-$\frac{1}{2}$×9•x-$\frac{1}{2}$×4×（12-x）-$\frac{1}{2}$×5×12，整理得：y=-2.5x+54．
當(dāng)y=34時，-2.5x+54=34，解得x=8．
（2）存在．
∵PB=x，PC=12-x，AD=12，DG=5，
∴PA²=AB²+BP²=81+x²，PG²=PC²+GC²=（12-x）²+16，AG²=AD²+DG²=169．
∵當(dāng)AG²=AP²+PG²時，AP⊥PG，
∴81+x²+（12-x）²+16=169，整理得：x²-12x+36=0，配方得：（x-6）²=0，
解得：x=6．
（3）如圖所示：

∵當(dāng)點P與點B重合時，點M位于M₁處，點N位于點N₁處，
∴M₁為AB的中點，點N₁位GB的中點．
∵當(dāng)點P與點C重合時，點M位于M₂處，點N位于點N₂處，
∴M₂為AC的中點，點N₂位CG的中點．
∴M₁M₂∥BC，M₁M₂=$\frac{1}{2}$BC，N₁N₂∥BC，N₁N₂=$\frac{1}{2}$BC．
∴M₁M₂∥N₁N₂，N₁N₂=M₁M₂．
∴四邊形M₁M₂N₂N₁為平行四邊形．
∴MN掃過的區(qū)域為平行四邊形．
S=$\frac{1}{2}$BC•（$\frac{1}{2}$AB-$\frac{1}{2}$CG）=6×2.5=15
故答案為：平行四邊形；15．

點評 本題主要考查的是一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了列函數(shù)關(guān)系式、三角形的面積公式、三角形的中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理和勾股定理的逆定理的應(yīng)用，畫出MN掃過的圖形是解題的關(guān)鍵．