Question

7．已知正方形ABCD中，AB=5，E是BC上的一點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)E作EF⊥AE，交CD于點(diǎn)F．當(dāng)E點(diǎn)在BC邊上運(yùn)動時，設(shè)線段BE的長為x，線段CF的長為y．
（Ⅰ）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及其定義域；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）中所得y關(guān)于x的函數(shù)圖象，求當(dāng)BE的長為何值時，線段CF最長，并求此時CF的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意易得△CEF∽△BAE，根據(jù)對應(yīng)邊成比例，可得y關(guān)于x的函數(shù)解析式，根據(jù)BC的長確定定義域即可；
（Ⅱ）用配方法求得二次函數(shù)的最值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°．
又∵∠CEA=∠CEF+∠AEF，∠CEA=∠BAE+∠B，
∴∠CEF=∠BAE，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△CEF∽△BAE，
∴$\frac{CF}{BE}$=$\frac{CE}{AB}$，
∴$\frac{y}{x}$=$\frac{5-x}{x}$，
∴y=-$\frac{1}{5}$x²+x（0＜x＜5）；

（Ⅱ）y=-$\frac{1}{5}$x²+x=-$\frac{1}{5}$（x-$\frac{5}{2}$）²$+\frac{5}{4}$
根據(jù)函數(shù)圖象可知，拋物線y=-$\frac{1}{5}$x²+x=-$\frac{1}{5}$（x-$\frac{5}{2}$）²$+\frac{5}{4}$，
開口向下，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是它的最高點(diǎn)、且x=$\frac{5}{2}$在函數(shù)的定義域內(nèi)．
所以當(dāng)BE的長為$\frac{5}{2}$時，CF的長最大為$\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評 此題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)的應(yīng)用、二次函數(shù)的最值求法、直角三角形中銳角函數(shù)值的求法等知識點(diǎn)．