Question

如圖是二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象，其頂點坐標為M（1，-4）．
（1）求出圖象與x軸的交點A，B的坐標；
（2）在二次函數(shù)的圖象上是否存在點P，使S_△PAB=

5

4

S_△MAB？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)a=1設(shè)出拋物線頂點式解析式，然后令y=0解關(guān)于x的一元二次方程即可得到點A、B的坐標；
（2）求出△PAB的面積，再求出點P的縱坐標，然后代入拋物線解析式求解即可．

解答：解：（1）由已知得，拋物線解析式y(tǒng)=（x-1）²-4，
令y=0，則（x-1）²-4=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
所以，點A（-1，0），B（3，0）；

（2）∵A（-1，0），B（3，0），M（-1，-4），
∴AB=3-（-1）=3+1=4，點M到AB的距離為4，
∴S_△MAB=

1

2

×4×4=8，
∵S_△PAB=

5

4

S_△MAB，
∴S_△PAB=

5

4

×8=10，
∵AB=4，
∴y_P=5，
令y=5，則（x-1）²-4=5，
解得x₁=4，x₂=-2，
∴點P（-2，5）或P（4，5）．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了拋物線與x軸的交點問題的求解，三角形的面積，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，（1）寫出頂點式解析式求解更簡便，（2）難點在于先求出點P的縱坐標．