Question

6．閱讀：我們約定，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過某點且平行于坐標(biāo)軸或平行于兩坐標(biāo)軸夾角平分線的直線，叫該點的“特征線”．例如，點M（1，3）的特征線有：x=1，y=3，y=x+2，y=-x+4．

問題與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有正方形OABC，點B在第一象限，A、C分別在x軸和y軸上，拋物線$y=\frac{1}{4}{（{x-m}）^2}+n$經(jīng)過B、C兩點，頂點D在正方形內(nèi)部．
（1）直接寫出點D（m，n）所有的特征線；
（2）若點D有一條特征線是y=x+1，求此拋物線的解析式；
（3）點P是AB邊上除點A外的任意一點，連接OP，將△OAP沿著OP折疊，點A落在點A′的位置，當(dāng)點A′在平行于坐標(biāo)軸的D點的特征線上時，滿足（2）中條件的拋物線向下平移多少距離，其頂點落在OP上？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)特征線直接求出點D的特征線；
（2）由點D的一條特征線和正方形的性質(zhì)求出點D的坐標(biāo)，從而求出拋物線解析式；
（2）分平行于x軸和y軸兩種情況，由折疊的性質(zhì)計算即可．

解答 解：（1）∵點D（m，n），
∴點D（m，n）的特征線是x=m，y=n，y=x+n-m，y=-x+m+n；
（2）點D有一條特征線是y=x+1，
∴n-m=1，
∴n=m+1
∵拋物線解析式為$y=\frac{1}{4}{（{x-m}）^2}+n$，
∴y=$\frac{1}{4}$（x-m）²+m+1，
∵四邊形OABC是正方形，且D點為正方形的對稱軸，D（m，n），
∴B（2m，2m），
∴$\frac{1}{4}$（2m-m）²+n=2m，將n=m+1帶入得到m=2，n=3；
∴D（2，3），
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{4}$（x-2）²+3
（3）如圖，當(dāng)點A′在平行于y軸的D點的特征線時，

根據(jù)題意可得，D（2，3），
∴OA′=OA=4，OM=2，
∴∠A′OM=60°，
∴∠A′OP=∠AOP=30°，
∴MN=$\frac{OM}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴拋物線需要向下平移的距離=3-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{9-2\sqrt{3}}{3}$．
如圖，當(dāng)點A′在平行于x軸的D點的特征線時，設(shè)A′（p，3），

則OA′=OA=4，OE=3，EA′=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴A′F=4-$\sqrt{7}$，
設(shè)P（4，c）（c＞0），
，在Rt△A′FP中，（4-$\sqrt{7}$）²+（3-c）²=c²，
∴c=$\frac{16-4\sqrt{7}}{3}$，
∴P（4，$\frac{16-4\sqrt{7}}{3}$）
∴直線OP解析式為y=$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$x，
∴N（2，$\frac{8-2\sqrt{7}}{3}$），
∴拋物線需要向下平移的距離=3-$\frac{8-2\sqrt{7}}{3}$=$\frac{1+2\sqrt{7}}{3}$，
即：拋物線向下平移$\frac{9-2\sqrt{3}}{3}$或$\frac{1+2\sqrt{7}}{3}$距離，其頂點落在OP上．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了折疊的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，特征線的理解，解本題的關(guān)鍵是用正方形的性質(zhì)求出點D的坐標(biāo)．