Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx（a＜0）的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)O，與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，過A點(diǎn)的直線與y軸交于B，與二次函數(shù)的圖象交于另一點(diǎn)C，且C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1，AC：BC=3：1．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）設(shè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為F，其對(duì)稱軸與直線AB及x軸分別交于點(diǎn)D和點(diǎn)E，若△FCD與△AED相似，求此二次函數(shù)的關(guān)系式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：幾何綜合題

分析：（1）過點(diǎn)C作CM∥OA交y軸于M，則△BCM∽△BAO，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出

CM

OA

=

BC

AB

=

1

4

，即OA=4CM=4，由此得出點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，0）；
（2）先將A（-4，0）代入y=ax²+bx，化簡(jiǎn)得出b=4a，即y=ax²+4ax，則頂點(diǎn)F（-2，-4a），設(shè)直線AB的解析式為y=kx+n，將A（-4，0）代入，化簡(jiǎn)得n=4k，即直線AB的解析式為y=kx+4k，則B點(diǎn)（0，4k），D（-2，2k），C（-1，3k）．由C（-1，3k）在拋物線y=ax²+4ax上，得出3k=a-4a，化簡(jiǎn)得到k=-a．再由△FCD與直角△AED相似，則△FCD是直角三角形，又∠FDC=∠ADE＜90°，∠CFD＜90°，得出∠FCD=90°，△FCD∽△AED．再根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式得出FC²=CD²=1+a²，得出△FCD是等腰直角三角形，則△AED也是等腰直角三角形，所以∠DAE=45°，由三角形內(nèi)角和定理求出∠OBA=45°，那么OB=OA=4，即4k=4，求出k=1，a=-1，進(jìn)而得到此二次函數(shù)的關(guān)系式為y=-x²-4x．

解答：解：（1）如圖，過點(diǎn)C作CM∥OA交y軸于M．
∵AC：BC=3：1，
∴

BC

AB

=

1

4

．
∵CM∥OA，
∴△BCM∽△BAO，
∴

CM

OA

=

BC

AB

=

1

4

=

BM

OB

，
∴OA=4CM=4，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，0）；

（2）∵二次函數(shù)y=ax²+bx（a＜0）的圖象過A點(diǎn)（-4，0），
∴16a-4b=0，
∴b=4a，
∴y=ax²+4ax，對(duì)稱軸為直線x=-2，
∴F點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-4a）．
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+n，將A（-4，0）代入，
得-4k+n=0，
∴n=4k，
∴直線AB的解析式為y=kx+4k，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4k），D點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，2k），C點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，3k）．
∵C（-1，3k）在拋物線y=ax²+4ax上，
∴3k=a-4a，
∴k=-a．
∵△AED中，∠AED=90°，
∴若△FCD與△AED相似，則△FCD是直角三角形，
∵∠FDC=∠ADE＜90°，∠CFD＜90°，
∴∠FCD=90°，
∴△FCD∽△AED．
∵F（-2，-4a），C（-1，3k），D（-2，2k），k=-a，
∴FC²=（-1+2）²+（3k+4a）²=1+a²，CD²=（-2+1）²+（2k-3k）²=1+a²，
∴FC=CD，
∴△FCD是等腰直角三角形，
∴△AED是等腰直角三角形，
∴∠DAE=45°，
∴∠OBA=45°，
∴OB=OA=4，
∴4k=4，
∴k=1，
∴a=-1，
∴此二次函數(shù)的關(guān)系式為y=-x²-4x．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到相似三角形、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，兩點(diǎn)之間的距離公式、拋物線對(duì)稱軸的求法，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．綜合性較強(qiáng)，有一定難度．（2）中得出△FCD是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．