Question

7．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB的平分線CO交AB邊于點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑作⊙O．
（1）請(qǐng)判斷AC與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若BO=1，∠BAC=30°，求△AOC的面積．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)O作OE⊥AC于點(diǎn)E，由CO平分∠ACB，得出OE=OB，即可證出結(jié)論；
（2）先根據(jù)勾股定理求出BC，再求出AC，即可得出結(jié)果．

解答 （1）解：AC與⊙O相切，理由如下：
過點(diǎn)O作OE⊥AC于點(diǎn)E，如圖所示：
∵∠ABC=90°，CO平分∠ACB，
∴OE=OB，
∴AC是⊙O的切線；
（2）解：∵∠A=30°，∠ABC=90°，
∴∠ACB=60°，
∵CO平分∠ACB，
∴∠OCB=30°，
∵在Rt△BCO中，BO=1，
∴OC=2，$BC=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，
∵∠A=30°，
∴AC=2BC=$2\sqrt{3}$，
∴${S_{△AOC}}=\frac{1}{2}AC•OE=\frac{1}{2}AC•OB=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×1=\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定、角平分線的性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用以及三角形面積的計(jì)算；熟練掌握切線的判定方法，并能進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算是解決問題的關(guān)鍵．