Question

11．兩個(gè)反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞1）和y=$\frac{1}{x}$在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點(diǎn)P在y=$\frac{k}{x}$的圖象上，PC⊥x軸于點(diǎn)C，交y=$\frac{1}{x}$的圖象于點(diǎn)A，PD⊥y軸于點(diǎn)D，交y=$\frac{1}{x}$的圖象于點(diǎn)B，BE⊥x軸于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)P在y=$\frac{k}{x}$的圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以下結(jié)論：
①$\frac{PB}{PD}$=$\frac{PA}{PC}$；
②PA與PB始終相等；
③四邊形PAOB的面積不會(huì)發(fā)生變化；
④△OBA的面積等于四邊形ACEB的面積．
其中一定正確的是①③④（填寫(xiě)序號(hào)）．

Answer 1

分析 設(shè)P（m，n），則mn=k，根據(jù)A、B兩點(diǎn)在雙曲線(xiàn)y=$\frac{1}{x}$上，且A點(diǎn)橫坐標(biāo)與P點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，B點(diǎn)縱坐標(biāo)與P點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，表示A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再對(duì)每個(gè)結(jié)論逐一判斷．

解答 解：設(shè)P（m，n），則mn=k，
∵A、B兩點(diǎn)在雙曲線(xiàn)y=$\frac{1}{x}$上，
∴A（m，$\frac{1}{m}$），B（$\frac{1}{n}$，n），
①∵$\frac{PB}{PD}$=$\frac{m-\frac{1}{n}}{m}$=$\frac{k-1}{k}$，$\frac{PA}{PC}$=$\frac{n}{n-\frac{1}{m}}$=$\frac{k-1}{k}$，∴$\frac{PB}{PD}$=$\frac{PA}{PC}$；結(jié)論①正確．
②∵PA=n-$\frac{1}{m}$=$\frac{k-1}{m}$，PB=m-$\frac{1}{n}$=$\frac{k-1}{n}$，PA≠PB，②結(jié)論錯(cuò)誤；
③S_{四邊形PAOB}=S_矩形OCPD-S_△OBD-S_△OAC=mn-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$=k-1（定值），③結(jié)論正確；
④∴S_△AOB=S_{四邊形ABOC}-S_△AOC，
S_{四邊形ABEC}=S_{四邊形ABOC}-S_△BOE，
∵S_△AOC=S_△BOE=$\frac{1}{2}$，
∴△OBA的面積等于四邊形ACEB的面積，④結(jié)論正確；
故答案為：①③④，

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，關(guān)鍵是設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，反比例函數(shù)的性質(zhì)表示相關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)，對(duì)每一個(gè)結(jié)論進(jìn)行判斷．