Question

如圖，圓的半徑是5

2

，A、C兩點在圓上，點B在圓內，AB=6，BC=2，∠ABC=90°，求點B到圓心的距離．

Answer 1

考點：垂徑定理,勾股定理

專題：計算題

分析：延長AB、CB分別交⊙O于E、D，作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，連結OB、OA、OD，如圖，設OM=a，ON=b，先證明四邊形OMBN為矩形得到OM=BN=a，ON=BM=b，再根據(jù)垂徑定理，由ON⊥CD得到DN=CN=a+2，在△AOM中利用勾股定理得（6-b）²+a²=（5

2

）²①，在Rt△OND中根據(jù)勾股定理得（a+2）²+b²=（5

2

）²②，然后解由①②所組成的方程組得到當b=1時，a=5，最后在Rt△OBM中根據(jù)勾股定理計算OB．

解答：解：延長AB、CB分別交⊙O于E、D，作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，連結OB、OA、OD，如圖，設OM=a，ON=b，
∵∠ABC=90°
∴四邊形OMBN為矩形，
∴OM=BN=a，ON=BM=b，
∵ON⊥CD，
∴DN=CN=BN+BC=a+2，
在△AOM中，∵AM=AB-BM=6-b，OM=a，OA=5

2

，
∴（6-b）²+a²=（5

2

）²①，
在Rt△OND中，∵ON²+DN²=OD²，
∴（a+2）²+b²=（5

2

）²②，
由①-②得a=8-3b③，
把③代入①得（6-b）²+（8-3b）²=（5

2

）²，
整理得b²-6b+5=0，解得b₁=5，b₂=1，
當b=5時，a=-7（舍去）；當b=1時，a=5，
在Rt△OBM中，∵BM=1，OM=5，
∴OB=

OM2+BM2

=

26

，
即點B到圓心的距離為

26

．

點評：本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條�。�也考查了勾股定理．