Question

2．如圖，Rt△ABC中，∠ABC為直角，以AB為直徑作⊙O交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，連結(jié)DE，DB
（1）求證：DE與⊙O相切；
（2）若∠C=30°，求∠BOD的度數(shù)；
（3）在（2）的條件下，若⊙O半徑為2，求陰影部分面積．

Answer 1

分析 （1）欲證明DE與⊙O相切，只要證明∠ODE=90°即可．
（2）在四邊形OBED中，利用四邊形內(nèi)角和求∠BOD即可．
（3）根據(jù)S_陰影部分=S_{四邊形OBED}-S_扇形OBD=S_△OBE+S_△ODE-S_扇形OBD計(jì)算即可．

解答 解：（1）連結(jié)OD，
∵AB為⊙O為直徑，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
又∵E是斜邊BC的中點(diǎn)
∴DE=BE=CE，
∴∠BDE=∠DBE，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD
∴∠ODE=∠ODB+∠BDE=∠OBD+∠DBE=∠ABC=90°
即DE與⊙O相切．
（也可以通過(guò)證明△OBE≌△ODE得到∠ODE=∠OBE=90°）

（2）若∠C=30°而DE=CE，
∴∠DEB=60°
在四邊形OBED中，則∠BOD=360°-90°-90°-60°=120°，

（3）連結(jié)OE，則∠OED=∠OEB=30°
∵OD=OB=2∴DE=BE=2$\sqrt{3}$
∴S_陰影部分=S_{四邊形OBED}-S_扇形OBD=S_△OBE+S_△ODE-S_扇形OBD
=2$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$-$\frac{120π×22}{360}$=4$\sqrt{3}$-$\frac{4π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線的判定、扇形的面積公式、四邊形的內(nèi)角和等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，學(xué)會(huì)用分割法求陰影部分面積，屬于中考�？碱}型．