Question

11．如圖，以△ABC的三邊為邊分別作等邊△ACD、△ABE、△BCF，則下列結(jié)論：：①△EBF≌△DFC；②四邊形AEFD為平行四邊形；③當AB=AC，∠BAC=120°時，四邊形AEFD是正方形．其中正確的結(jié)論是①②．（請寫出正確結(jié)論的序號）．

Answer 1

分析 利用SAS得到△EBF與△DFC全等，利用全等三角形對應邊相等得到EF=AC，再由△ADC為等邊三角形得到三邊相等，等量代換得到EF=AD，AE=DF，利用對邊相等的四邊形為平行四邊形得到AEFD為平行四邊形，若AB=AC，∠BAC=120°，只能得到AEFD為菱形，不能為正方形，即可得到正確的選項．

解答 解：∵△ABE、△BCF為等邊三角形，
∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°，
∴∠ABE-∠ABF=∠FBC-∠ABF，即∠CBA=∠FBE，
在△ABC和△EBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=EB}\\{∠CBA=∠FBE}\\{BC=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△EBF（SAS），
∴EF=AC，
又∵△ADC為等邊三角形，
∴CD=AD=AC，
∴EF=AD=DC，
同理可得△ABC≌△DFC，
∴DF=AB=AE=DF，
∴四邊形AEFD是平行四邊形，選項②正確；
∴∠FEA=∠ADF，
∴∠FEA+∠AEB=∠ADF+∠ADC，即∠FEB=∠CDF，
在△FEB和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=DC}\\{∠FEB=∠CDF}\\{EB=FD}\end{array}\right.$．
∴△FEB≌△CDF（SAS），選項①正確；
若AB=AC，∠BAC=120°，則有AE=AD，∠EAD=120°，此時AEFD為菱形，選項③錯誤，
故答案為：①②．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，以及正方形的判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關鍵．