Question

3．探究問(wèn)題：
（1）方法感悟：
如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足∠EAF=45°，連接EF，求證DE+BF=EF．
感悟解題方法，并完成下列填空：
將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，此時(shí)AB與AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得：AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，因此，點(diǎn)G，B，F(xiàn)在同一條直線(xiàn)上．∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°．即∠GAF=∠EAF．又AG=AE，AF=AF∴△GAF≌△EAF．∴GF=EF，故DE+BF=EF．
（2）方法遷移：
如圖②，將Rt△ABC沿斜邊翻折得到△ADC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠DAB．試猜想DE，BF，EF之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．
（3）問(wèn)題拓展：
如圖③，在四邊形ABCD中，AB=AD，E，F(xiàn)分別為DC，BC上的點(diǎn)，滿(mǎn)足∠EAF=$\frac{1}{2}$∠DAB，試猜想當(dāng)∠B與∠D滿(mǎn)足什么關(guān)系時(shí)，可使得DE+BF=EF．請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想（不必說(shuō)明理由）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)和全等三角形的判定定理證明△GAF≌△EAF，得到GF=EF，證明結(jié)論；
（2）假設(shè)∠BAD的度數(shù)為m，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)證明∠GAF=∠EAF，證明△GAF≌△EAF，得到GF=EF，證明結(jié)論；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論解答即可．

解答 解：（1）AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，點(diǎn)G，B，F(xiàn)在同一條直線(xiàn)上．
∵∠EAF=45°，
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°，
∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°．即∠GAF=∠EAF．
在△GAF和△EAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AE}\\{∠GAF=∠EAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△GAF≌△EAF，
∴GF=EF，
故DE+BF=EF；
故答案為：EAF；△EAF；GF；
（2）DE+BF=EF，證明如下：
假設(shè)∠BAD的度數(shù)為m，將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)m°得到△ABG，此時(shí)AB與AD重合，
由旋轉(zhuǎn)可得：
AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
∴點(diǎn)G，B，F(xiàn)在同一條直線(xiàn)上，
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$m°，
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF，
即m°-$\frac{1}{2}$m°=$\frac{1}{2}$m°，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=$\frac{1}{2}$m°，
即∠GAF=∠EAF，
又∵AG=AE，AF=AF，
∴△GAF≌△EAF（SAS），
∴GF=EF，
又∵GF=BG+BF=DE+BF，
∴DE+BF=EF；
（3）由（2）的結(jié)論可知，當(dāng)∠B與∠D互補(bǔ)時(shí)，可使得DE+BF=EF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理以及旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．