Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥BC，且BD=BC=2AD，點E為AD的中點，連BE，對角線AC分別交BE、BD于點F、G．下列結(jié)論：
①DF平分∠ADB；②S_△BDF=4S_△DEF；③CF=4AF；④2S_△CDG=5S_△BFG，
其中正確的結(jié)論是（　�。�

• A、①②③④
• B、①③④
• C、①②④
• D、②③

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì),梯形

專題：

分析：①過F作FM⊥AD于M，F(xiàn)N⊥BD于N，先根據(jù)平行線分線段定理求得FM=

1

5

BD，F(xiàn)N=

1

5

BD，然后根據(jù)到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上即可求得結(jié)論，故①正確；
②根據(jù)EF：FB=1：4，△DEF和△BDF的高相等，即可證明結(jié)論，故②正確；
③根據(jù)平行線分線段定理即可證明結(jié)論，故③正確；
④由①可知FM=

1

5

BD，DG=

1

3

BD，得出BN=

4

5

BD，BG=

2

3

BD，設(shè)BD=BC=a，然后根據(jù)三角形面積公式求得S_△BCF=

1

2

BC•BN=

1

2

×a×

4

5

a=

2

5

a²，S_△BDC=

1

2

BC•BD=

1

2

a²，S_△BCG=

1

2

BC•BG=

1

2

a•

2

3

a=

1

3

a²，然后用S_△BDC-S_△BCG，S_△BCF-S_△BCG求得△CDG和△BFG的面積，最后求得2S_△CDG和5S_△BFG的值即可得出結(jié)論，故④正確．

解答：解：①、如圖，過F作FM⊥AD于M，F(xiàn)N⊥BD于N，
∵BD=BC=2AD，點E為AD的中點，
∴BD=BC=4AE=4ED，
∵AD∥BC，
∴AD：BC=DG：GC=1：2，AE：BC=AF：FC=EF：FB=1：4，
∴AF：AC=1：5，AG：AC=1：3，DG：BD=1：3，BF：EB=4：5
∴AF：AG=3：5，
∵FM⊥AD，F(xiàn)N⊥BD，BD⊥BC，
∴FM∥BD，F(xiàn)N∥AD，
∴FM：DG=AF：AG=3：5，F(xiàn)N：ED=BF：BE=4：5，
∵DG=

1

3

BD，ED=

1

4

BD，
∴FM=

1

5

BD，F(xiàn)N=

1

5

BD，
∴FM=FN，
∴DF平分∠ADB；
故①正確；
②、∵EF：FB=1：4，△DEF和△BDF的高相等，
∴S_△BDF=4S_△DEF，
故②正確；
③、∵AD∥BC，AE=

1

2

AD，BC=2AD，
∴AF：FC=AE：BC=1：4，
∴CF=4AF；
故③正確；
④、∵FM=

1

5

BD，DG=

1

3

BD
∴BN=

4

5

BD，BG=

2

3

BD，
設(shè)BD=BC=a，
∴S_△BCF=

1

2

BC•BN=

1

2

×a×

4

5

a=

2

5

a²，S_△BDC=

1

2

BC•BD=

1

2

a²，S_△BCG=

1

2

BC•BG=

1

2

a•

2

3

a=

1

3

a²，
∴S_△CDG=S_△BDC-S_△BCG=

1

6

a²，S_△BFG=S_△BCF-S_△BCG=

1

15

a²，
∴2S_△CDG=

1

3

a2，5S_△BFG=

1

3

a2，
∴2S_△CDG=5S_△BFG，
故④正確；
故選A．

點評：本題考查了梯形的性質(zhì)、平行線分線段定理，角的平分線的性質(zhì)定理的逆定理，熟練掌握平行線分線段定理，角的平分線的性質(zhì)定理的逆定理是本題的關(guān)鍵．