Question

已知拋物線(xiàn)y=x²+kx+1與x軸兩個(gè)交點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)左側(cè)，頂點(diǎn)為C，△ABC是等腰直角三角形，求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)

專(zhuān)題：

分析：設(shè)A（a，b），B（c，d）是拋物線(xiàn)y=x²+kx+1與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系以及完全平方公式的變形公式求得AB的長(zhǎng)度；然后利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求得CD的長(zhǎng)度；最后由“直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半”列出關(guān)于k的方程，通過(guò)解方程來(lái)求k的值．

解答：解：設(shè)A（a，b），B（c，d）是拋物線(xiàn)y=x²+kx+1與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，
∴a+c=-k，ac=1，
∴AB=

(a+c)2-4ac

=

k2-4

∵拋物線(xiàn)的解析式為：y=x²+kx+1，
∴C（-

k

2

，

4-k2

4

）．
∵△ABC是等腰直角三角形，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為C，
∴CD=

1

2

AB，即|

4-k2

4

|=

1

2

k2-4

解得 k₁=2，k₂=-2（舍去），
即k的值是2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)，等腰直角三角形．求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0，即ax²+bx+c=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)．