Question

4．如圖1，在矩形紙片ABCD中，已知AB=3，BC=4，M、N分別是邊AB、AD上的動點．現(xiàn)將紙片沿MN折疊，得到△MNP．
（1）若點P在對角線BD上．
①如圖2，若M點與B點重合時，求AN的長；
②如圖3，若MN∥BD，判斷以MN為直徑的圓與直線BD的位置關(guān)系，并說明理由．
（2）若BM=AN，以MN為直徑的圓能否與直線BD相切？若能，請求出AN的長；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得AN與PN的關(guān)系，根據(jù)三角形的面積公式，可得關(guān)于AN的方程；
（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得OP與MN的關(guān)系，根據(jù)直角三角形三邊的關(guān)系，可得答案；
（3）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得答案．

解答 解：（1）由翻折的性質(zhì)，得
AN=PN．
由勾股定理，得
BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=5，
由S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB•AD=S_△ABN+S_△BND，得
$\frac{1}{2}$×3AN+$\frac{1}{2}$×5NP=$\frac{1}{2}$×3×4，即$\frac{3}{2}$AN+$\frac{5}{2}$AN=6．
解得AN=$\frac{3}{2}$；
（2）如圖1：O為圓心，作OE⊥BD于E，連接OP，，
由直角三角形的性質(zhì)，得
OP=OM=ON，
由直角三角形三邊的關(guān)系，得
OP＞OE，
⊙O與直線BD相交；
（3）當M與A重合時，如圖2，
$\frac{OP}{AB}$=$\frac{OD}{BD}$，AN=BM=3，OP=$\frac{3}{2}$
即⊙O與直線BD相切．

點評 本題考查了圓的綜合題，利用了翻折的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，圓心到直線的距離等于半徑；直線與圓相切，圓心到直線的距離小于半徑，直線與圓相交．