Question

如圖1，在平面直角坐標系中A（0，8），B（8，O），C（-8，0），連接AB，AC．
（1）試判斷△ABC形狀并說明理由；
（2）D為線段AB上任意一點，連接OD，作OE⊥OD交AC于E，請求出四邊形ADOE的面積；
（3）如圖2，若M為線段OA上一點，BM交AC于Q，過A作AK⊥BQ交BC于K，過K作KH⊥CM交AC于H，交BQ的延長線于G，問：若∠MBO=30°，試判斷線段BG，BM，BK之間的關(guān)系．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),坐標與圖形性質(zhì)

專題：

分析：（1）由A（0，8），B（8，O），C（-8，0）就可以得出OA=OB=OC=8，BC=16，由勾股定理就可以得出AC=AB=8

2

，就可以求出△ABC是直角三角形而得出結(jié)論；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以得出△ADO≌△BEO就可以得出S_△ADO=S_△BEO，就可以求出四邊形ADOE的面積；
（3）由垂直的性質(zhì)及∠MBO=30°就可以求出∠G=15°，過G作GN⊥x軸交x軸于點N，則在Rt△GNK、Rt△GNB、Rt△KOA和Rt△BOM中可得出三者的關(guān)系．

解答：
解：（1）∵A（0，8），B（8，O），C（-8，0），
∴OA=OC=OB=8，
∴AC=BC=8

2

，且∠CAB=45°+45°=90°，
∴△ABC為等腰直角三角形；

（2）∵OE⊥DO，
∴∠DOA+∠AOE=∠BOE+∠AOE=90°，
∴∠DOA=∠BOE，
在△ADO和△BEO中，

∠DOA=∠BOE AO=BO ∠DAO=∠EBO

，
∴△ADO≌△BEO（ASA），
∴S_△ADO=S_△BEO，
∴S_{四邊形ADOE}=S_△ADO+S_△AOE=S_△BEO+S_△AOE=S_△AOB=

1

2

AO•OB=32；

（3）過G作GN⊥x軸交x軸于點N，

∵AK⊥GB，∠MBO=30°，
∴∠KAO+∠AKO=∠KAO+∠MBO=90°，
∴∠KAO=30°，∠AKO=60°，
∵∠CAO=45°，
∴∠CAK=45°-∠KAO=45°-30°=15°，∠
∵GK⊥AC，
∴∠GKA+∠CAK=90°，
∴∠GKA=90°-15°=75°，
∴∠GKC=180°-75°-60°=45°，
在Rt△OMB中，OB=8，
∴OM=

8 3

3

，BM=2OM=

16 3

3

，
在Rt△AKO和Rt△BMO中，

∠AKO=∠MBO ∠AOK=∠BOM AO=BO

，
∴△AKO≌△BMO（AAS），
∴KO=OM=

8 3

3

，
∴BK=8+

8 3

3

，BN=BK+KN=8+

8 3

3

+KN，
∵OM∥GN，
∴

OM

GN

=

BO

BN

，且GN=KN，
∴

8 3 3

GN

=

8

8+ 8 3 3 +GN

∴GN=

16 3

3

+8，
∴BG=

32 3

3

+16，
∴BG=BM+2BK．

點評：本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，（3）中求出線段的長度是解題的關(guān)鍵．