Question

已知等腰直角△ABC與等腰直角△ADE，F(xiàn)是EC中點，問：DF與BF的關系？并證明你的猜想．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：易證∠DEF=∠NCF，即可證明△FDE≌△FMC，可得DF=MF，DE=MC，即可求得AD=MC，易證∠DAB=∠MCB，即可證明△BCM≌△BAD，可得BM=BD，∠ABD=∠CBM，根據(jù)∠ABD+∠DBC=90°即可求得∠DBM=90°，可證明△DBM是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形底邊三線合一性質(zhì)即可解題．

解答：證明：過點C作CM∥ED，與DF的延長線交于點M，連接BD，BM，

∵CM∥ED，
∴∠DEF=∠NCF，
在△FDE和△FMC中，

∠DEF=∠NCF EF=CF ∠DFE=∠MFC

，
∴△FDE≌△FMC﹙ASA﹚，
∴DF=MF，DE=MC，
∴F是DM中點，
∵AD=DE，
∴AD=ED=MC，
∵DE∥CM，BC⊥AB，
∴∠DAB=∠MCB，
∵在△BCM和△BAD中，

AB=BC ∠DAB=∠MCB AD=CM

，
∴△BCM≌△BAD（SAS），
∴BM=BD，∠ABD=∠CBM，
∵∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠DBC+∠CBM=90°，即∠DBM=90°，
∴△DBM是等腰直角三角形，
∵F是DM的中點，
∴△BFD是等腰直角三角形；
∴DF=BF，DF⊥BF．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質(zhì)，本題中求證△FDE≌△FMC和△BCM≌△BAD是解題的關鍵．