Question

16．在?ABCD中，BD是對角線，AE⊥BD，CF⊥BD，E、F為垂足，求證：四邊形AECF是平行四邊形．

Answer 1

分析 由平行四邊形的性質可得出AD=CB，AD∥CB，再由平行線的性質得出∠ADE=∠CBF；由AE⊥BD，CF⊥BD可得出∠AED=∠CFB和AE∥CF，此時已找齊滿足全等三角形的判定定理AAS的條件，從而證得△AED≌△CFB，即得出AE=CF，結合平行四邊形的判定定理即可得出四邊形AECF是平行四邊形．

解答 證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD=CB，AD∥CB，
∴∠ADE=∠CBF．
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠CFB=90°，AE∥CF．
在△AED和△CFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠CFB}\\{∠ADE=∠CBF}\\{AD=CB}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CFB（AAS），
∴AE=CF，
∵AE∥CF，
∴四邊形AECF是平行四邊形．

點評 本題考查了平行四邊形的判定及性質、平行線的判定及性質和全等三角形的判定及性質，解題的關鍵是找出AE=CF且AE∥CF．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，通過全等三角形的性質找出相等的角（或邊）是關鍵．