Question

14．已知正方形ABCD的邊長為2，∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與邊BC、DC的延長線交于點(diǎn)E、F，連接EF，∠MAN=45°．
（1）如圖1，當(dāng)∠EAF被對角線AC平分時(shí)，請說明CE=CF；
（2）設(shè)CE=a，CF=b．
①如圖2，當(dāng)△AEF是直角三角形時(shí)，求a、b的值；
②如圖3，探索∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中a、b滿足的關(guān)系式，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)∠EAF被對角線AC平分時(shí)，易證△ACF≌△ACE，因此CF=CE．
（2）①分兩種情況進(jìn)行計(jì)算，先用勾股定理得出CF²=8（CE+4）①，再用相似三角形得出4CF=CE（CE+4）②，兩式聯(lián)立解方程組即可；
②先判斷出∠AFD=∠CEF，再判斷出AF=EF，從而得到△ADF≌△FCE即可．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCF=∠DCE=90°
∵AC是正方形ABCD的對角線，
∴∠ACB=∠ACD=45°，
∴∠ACF=∠ACE，
∵∠EAF被對角線AC平分，
∴∠CAF=∠CAE，
在△ACF和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACF=∠ACE}\\{AC=AC}\\{∠CAF=∠CAE}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△ACE，
∴CF=CE，
（2）當(dāng)△AEF是直角三角形時(shí)，
Ⅰ、當(dāng)∠AFE=90°時(shí)，∴∠AFD+∠CFE=90°，
∵∠CEF+∠CFE=90°，
∴∠AFD=∠CEF
∵∠AFE=90°，∠EAF=45°，
∴∠AEF=45°=∠EAF
∴AF=EF，
在△ADF和△FCE中 $\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠FCE}\\{∠AFD=∠CEF}\\{AF=EF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△FCE，
∴FC=AD=2，CE=DF=CD+FC=4，
∴a=4，b=2
Ⅱ、當(dāng)∠AEF=90°時(shí)，
同①的方法得，CF=4，CE=2，
∴a=2，b=4．
（3）ab=8，
理由：
∵AB∥CD
∴∠BAG=∠AFC，
∵∠BAC=45°，
∴∠BAG+∠CAF=45°，
∴∠AFC+∠CAF=45°，
∵∠AFC+∠AEC=180°-（∠CFE+∠CEF）-∠EAF=180°-90°-45°=45°，
∴∠CAF=∠AEC，
∵∠ACF=∠ACE=135°，
∴△ACF∽△ECA，
∴$\frac{AC}{EC}=\frac{CF}{AC}$，
∴EC×CF=AC²=2AB²=2×4=8
∴ab=8．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是判斷△ACF∽△ECA，也是本題的難點(diǎn)．