Question

20．如圖，已知直線l與⊙O相離，OA⊥l于點A，交⊙O于點P，點B是⊙O上一點，連接BP并延長，交直線l于點C，使得AB=AC．
（1）求證：AB是⊙O的切線；
（2）若PC=2$\sqrt{3}$，OA=3，求⊙O的半徑和線段PB的長．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OB，如圖，由等腰三角形的性質(zhì)得∠1=∠2，∠4=∠5，由OA⊥AC得∠2+∠3=90°，加上∠3=∠4，易得∠5+∠1=90°，即∠OBA=90°，于是根據(jù)切線的判定定理可得AB是⊙O的切線；
（2）作OH⊥PB于H，如圖，根據(jù)垂徑定理得到BH=PH，設(shè)⊙O的半徑為r，則PA=OA-OP=3-r，根據(jù)勾股定理得到AC²=PC²-PA²=（2$\sqrt{3}$）²-（3-r）²，AB²=OA²-OB²=3²-r²，所以（2$\sqrt{3}$）²-（3-r）²=3²-r²，解得r=1，則PA=2，然后證明Rt△APC∽Rt△HPO，利用相似比可計算出PH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，于是得到PB=2PH=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

解答 （1）證明：連結(jié)OB，如圖，
∵AB=AC，
∴∠1=∠2，
∵OA⊥AC，
∴∠2+∠3=90°，
∵OB=OP，
∴∠4=∠5，
而∠3=∠4，
∴∠5+∠2=90°，
∴∠5+∠1=90°，即∠OBA=90°，
∴OB⊥AB，
∴AB是⊙O的切線；
（2）解：作OH⊥PB于H，如圖，則BH=PH，
設(shè)⊙O的半徑為r，則PA=OA-OP=3-r，
在Rt△PAC中，AC²=PC²-PA²=（2$\sqrt{3}$）²-（3-r）²，
在Rt△OAB中，AB²=OA²-OB²=3²-r²，
而AB=AC，
∴（2$\sqrt{3}$）²-（3-r）²=3²-r²，解得r=1，
即⊙O的半徑為1；
∴PA=2，
∵∠3=∠4，
∴Rt△APC∽Rt△HPO，
∴$\frac{PA}{PH}$=$\frac{PC}{PO}$，即$\frac{2}{PH}$=$\frac{2\sqrt{3}}{1}$，
∴PH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴PB=2PH=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了垂徑定理和勾股定理．