Question

12．如圖，P，Q是△ABC的邊BC上的兩點，且BP=QC=AP=AQ．
（1）求證：AB=AC；
（2）若∠B=25°，求∠BAC的度數(shù)；
（3）若∠BAC=120°，判斷△APQ的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）欲證明AB=AC，只要證明△APB≌△AQC即可．
（2）求出∠B、∠C，利用∠BAC=180°-∠B-∠C即可解決問題．
（3）結論：△APQ是等邊三角形，只要證明∠APQ=∠AQP=60°即可．

解答 （1）證明：∵AP=AQ，
∴∠APQ=∠AQP，
∴∠APB=∠AQC，
在△APB和△AQC中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=QA}\\{∠APB=∠AQC}\\{PB=QC}\end{array}\right.$，
∴△APB≌△AQC，
∴AB=AC．
（2）解：∵AB=AC，∠B=25°，
∴∠B=∠C=25°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=130°．
（3）結論：△PAQ是等邊三角形．
理由：∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∵PA=PB，
∴∠B=∠PAB=30°，
∴∠APQ=∠B+∠PAB=60°，
∵AP=QA，
∴∠B=∠PAB=30°，
∴∠APQ=∠B+∠PAB=60°，同理∠AQP=60°，
∴△APQ是等邊三角形．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是靈活應用這些知識解決問題，屬于基礎題，中考常考題型．