Question

已知：在△ABC中，AB=6，BC=8，AC=10，O為AB邊上的一點，以O(shè)為圓心，OA長為半徑作圓交AC于點D，過D作⊙O的切線交BC于點E．
（1）若O為AB的中點（如圖1），則ED與EC的大小關(guān)系為：ED

 

EC．（填“＞““＜““=“）
（2）若OA＜3時（如圖2），（1）中的關(guān)系是否還成立？為什么？
（3）當(dāng)⊙O過BC中點時（如圖3），求CE長．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠ODE=90°，則∠CDE+∠ADO=90°，由AB=6，BC=8，AC=10根據(jù)勾股定理的逆定理可證得∠ABC=90°，則∠A+∠C=90°，根據(jù)圓的基本性質(zhì)可得∠A=∠ADO，即可得到∠CDE=∠C，從而證得結(jié)論；
（2）證法同（1）；
（3）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)結(jié)合圓的基本性質(zhì)，先求出圓的半徑，再結(jié)合前兩問的結(jié)論，在Rt△DEF中，利用勾股定理求解即可．

解答：解：（1）如圖1，連接OD，

∵DE為⊙O的切線，
∴∠ODE=90°，
∴∠CDE+∠ADO=90°，
∵AB=6，BC=8，AC=10，
∴∠ABC=90°，
∴∠A+∠C=90°，
∵AO=DO，
∴∠A=∠ADO，
∴∠CDE=∠C，
∴ED=EC，
故答案為：=；
（2）如圖2，連接OD，

∵DE為⊙O的切線，
∴∠ODE=90°，
∴∠CDE+∠ADO=90°，
∵AB=6，BC=8，AC=10，
∴∠ABC=90°，
∴∠A+∠C=90°，
∵AO=DO，
∴∠A=∠ADO，
∴∠CDE=∠C，
∴ED=EC；
（3）設(shè)BC中點為F，如圖3，連接OF、OD、OE，

設(shè)OA=r，則OB=6-r，且BF=4，
在Rt△OBF中，由勾股定理可得：OF²=OB²+BF²，即r²=（6-r）²+4²，解得r=

13

3

，
設(shè)CE=DE=x，則BE=8-x，在Rt△OBE中，由勾股定理可得：OE²=OB²+BE²，
則在Rt△ODE中，由勾定理可得：OE²=OD²+DE²，
∴OB²+BE²=OD²+DE²，即（6-r）²+（8-x）²=r²+x²，
整理可得3r+4x=25，把r=

13

3

代入可得x=3，
即CE長為3．

點評：本題主要考查圓的切線的性質(zhì)及圓的基本性質(zhì)、勾股定理等的綜合應(yīng)用，一般出現(xiàn)切點連接圓心和切點是常用的輔助線，再結(jié)合直角三角形進(jìn)行求解即可．