Question

如圖，拋物線(xiàn)y=-x²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），作直線(xiàn)BC．動(dòng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)M，交直線(xiàn)BC于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式和直線(xiàn)BC的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若△CMN是以MN為腰的等腰直角三角形時(shí)，求m的值；
（3）當(dāng)以C、O、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是以O(shè)C為一邊的平行四邊形時(shí)，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）把點(diǎn)A，點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)y=-x²+bx+c，得出拋物線(xiàn)的解析式為y=-x²+2x+3，令-x²+2x+3=0，得點(diǎn)B的坐標(biāo)（3，0），設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y=kx+b，把C（0，3），B的坐標(biāo)（3，0）代入，得出直線(xiàn)BC的解析式為y=-x+3．
（2）由△CMN是以MN為腰的等腰直角三角形，得出CM∥x軸，即點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為3，把y=3代入y=-x²+2x+3，得x=0或2，由PM⊥x軸，得出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m=2．
（3）由拋物線(xiàn)的解析式可得出M（m，-m²+2m+3），由直線(xiàn)BC的解析式可得N（m，-m+3），由以C、O、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是以O(shè)C為一邊的平行四邊形，可得MN=OC=3，由方程-m²+2m+3-（-m+3）=3，即可得無(wú)解．

解答：解：（1）把點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)C（0，3）代入拋物線(xiàn)y=-x²+bx+c，得

0=-1-b+c 3=c

，解得

b=2 c=3

所以?huà)佄锞�(xiàn)的解析式為y=-x²+2x+3，
令-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，得點(diǎn)B的坐標(biāo)（3，0），
設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y=kx+b，把C（0，3），B的坐標(biāo)（3，0）代入，得

3=b 0=3k+b

，解得

k=-1 b=3

所以直線(xiàn)BC的解析式為y=-x+3．
（2）∵△CMN是以MN為腰的等腰直角三角形，
∴CM∥x軸，即點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為3，
把y=3代入y=-x²+2x+3，得x=0或2，
∵PM⊥x軸，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m=2．
（3）∵拋物線(xiàn)的解析式為y=-x²+2x+3，P的橫坐標(biāo)為m
∴M（m，-m²+2m+3），
∵直線(xiàn)BC的解析式為y=-x+3．
∴N（m，-m+3），
∵以C、O、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是以O(shè)C為一邊的平行四邊形，
∴MN=OC=3，
∴-m²+2m+3-（-m+3）=3，化簡(jiǎn)得m²-3m+3=0，無(wú)解，
不存在m這樣的值．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)與方程、幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識(shí)求解．